作者编写的《振动力学》于1998年作为工程力学专业的本科生教材出版。被列入“普通高等教育‘九五’重点教材”和“面向21世纪课程教材”。第二版出版于2011年，适用对象改为机械、土木、航空等专业的本科生教学。原教材中的提高部分作为研究生教材《非线性振动》另行出版。即将出版的第三版，仍保留原版的起点较高、线性振动和非线性振动纳入统一体系等特色不变[1,2,3]。为方便教学和自学，第三版增加了与本书配套的计算机辅助教学课件、专题讲座课件和与内容有关的视频资料，利用二维码供读者下载参阅。本文就第三版修订的内容和特点做一些说明。

1. 线性振动与非线性振动

线性振动与非线性振动是根据描述振动的微分方程是线性还是非线性区分的。由于线性振动已构成完整的理论体系，能解释振动幅度较小情况下绝大多数振动现象，国内外多数教材的体系是以线性振动为主，按不同自由度和激励情况依次叙述各类振动问题。非线性振动作为最后章节单独叙述。以早期季文美等的教材为例[4]，总共十四章内容中，前十章均为线性振动及相关的数学力学基础，第十一章为非线性振动，后三章为随机振动。早期国外教材如L.Meirovitch的教材[5]，总共十一章内容中，前九章为各种类型的线性振动，非线性振动和随机振动各占一章置于书末。但线性振动毕竟有其适用范围，如单摆的大幅摆动就不具有等时性。有些类型的振动，如日常生活和工程技术中常见的自激振动，学生如仅了解线性振动，就难以识别和分析这种类型的振动。

国外也有与上述体系完全不同的振动力学教材，如K.Magnus编写的德国振动力学教材，至今已发行到第十版[6]。其突出特点是不按微分方程的线性或非线性区分，而是按照自由振动、受迫振动、自激振动、参数振动等不同物理现象划分章节。受这类教材的影响，作者在《振动力学》的初版中采用了类似的教材体系，尝试不明确区分线性与非线性振动。对出现的非线性问题采用直观的几何方法，或简易的谐波平衡法处理。在自由振动一章中增加相平面方法和静态分岔概念。在受迫振动一章中增加非线性系统的响应，以解释跳跃、多频响应等现象。自激振动作为单独一章，着重从物理概念和工程实例解释其机理和分析方法。

第三版在受迫振动一章内增加一节参数振动内容。受迫振动和参数振动的激励均为周期性，但后者的激励是通过系统内参数的周期性变化实现。参数振动的数学表达是周期变系数线性常微分方程。教材中采用方波激励代替谐波激励，使有可能直接利用自由振动的分析结果，以避免过多的数学推导。利用具体的工程实例解释对参数振动稳定性的分析方法。

关于非线性科学的新进展，在第二版中已对混沌振动做了简要介绍。通过典型的混沌系统上田振子，介绍混沌最基本的性质，如初态敏感性、有界非周期性和不可长期预测性等。第三版更结合上田振子的混沌振动形成的上田吸引子，通俗地介绍了分形概念。因受学时限制，上述涉及非线性振动的内容若不能在课堂讲述，也能为学生提供扩展知识的自学条件。

2. 连续系统的振动

在欧拉-伯努利梁的理论基础上，从第2版开始，增加了铁摩辛柯梁、粘弹性梁、轴向运动梁等特殊梁振动问题，以及弹性薄膜和薄板横向振动的基础知识。轴向运动梁通常不在本科生振动教材中出现，仅见于J.H.Ginsberg的振动教材[7]。但轴向运动梁是典型的带陀螺项的连续体，其动力学特性具有特殊性和代表性，且有较广泛的工程应用。教材中以通俗易懂的方式叙述了轴向运动梁的方程推导和分析。

第三版还增加了一维线性波动一节。简要叙述了波动的基本概念和分析方法。重点在于解释波动与振动之间的密切联系。通常认为波动属于物理课程，多数振动教材的内容不包括波动。但也有例外。如德国J.Wittenburg编写的振动教材[8]，总共4章中，参数振动和一维波动各占一章，与线性振动的两章并列。实际上振动与波动来源于同一数学模型，即波动方程。且连续系统的振动和波动往往同时发生。振动分析导出的主振动与波动分析导出的驻波是对同一物理现象的不同叙述。驻波作为逆向行波的叠加结果，更能反映出主振动形成的动态过程。对于连续体振动的普遍规律，振动分析将其表示为无穷多个主振动之和。波动分析则表示为无穷多个驻波之和，即无穷多个逆向行波之和。虽然表达的概念和形式不同，但结论完全一致。

3. 受迫振动与暂态响应

受迫振动和暂态响应均为在外力激励作用下发生的振动。区别在于，前者的激励是周期性函数，而后者是非周期函数。分析方法和使用的数学工具也不同。因此将其划分为两章叙述。在暂态响应一章内，分别在时间域和频率域内讨论激励与响应的关系。时域分析以杜哈梅积分为工具，发展为对任意规律的激励函数计算响应的普遍方法，周期性激励的受迫振动可视为其特例。频域分析的主要工具为傅里叶变换和拉普拉斯变换，是工程设计中常用的实用方法。随机激励作为特殊的非周期函数，可在暂态响应一章内简要叙述随机振动的规律和工程应用。于是各种不同振动现象，包括自由振动、受迫振动、自激振动、参数振动和随机振动在教材中实现了全覆盖。使学生对各种振动现象的判别和分析方法有更全面的认识。

4. 多自由度系统和连续系统振动的计算方法

多自由度系统振动计算方法的内容，不仅是介绍了各种算法，也希望通过这些算法的讲解和分析，增加学生对振动基本概念的理解。为此，从第2版起，在多自由度系统计算方法部分，应用振动系统频率和振型的性质以及线性代数和不等式等基本的数学工具，给出一下结果的理论证明。有理论证明的结果包括：瑞利商介于最小频率平方和最大频率平方之间，用动力矩阵表示的瑞利法可给出更精确的基频近似值，利用动力矩阵迭代趋于模态精确值等。

连续系统振动计算方法，有些同时也是连续系统的离散方法。假设模态法是先离散再导出常微分方程组。加权残数法是先建立边值条件下的偏微分方程，再离散化为常微分方程组。这类离散方法，不仅适用于线性系统，在某些条件下也可以应用于非线性系统。教材对此作了说明。这方面内容的扩展，有助于学生将来研究连续系统的非线性振动。从第二版起，把原来的伽辽金方法扩展为加权残数法，而伽辽金方法只是权函数取为试函数的特例，还简要介绍了其他的加权残数法包括并置法和子区域法。此外，连续系统振动的计算方法部分，从第二版起也增加一些理论证明以巩固基础知识。例如，证明了瑞利商在试函数取振型函数时取驻值，从瑞利商取驻值导出振型函数的正交性等。

5. 结语

在振动力学课程中适当增加非线性振动内容，改变本科教学体系局限于线性振动范围的现状，对强化学生能力的培养具有重要意义。如何在有限学时的限制和不增加学习负担条件下使学生获得必要的非线性振动知识，无论对教材编写或对教师的教学实践都是值得认真研究和探索的课题。

参考文献

刘延柱，陈立群，陈文良. 振动力学(第三版). 北京. 高等教育出版社. 2019 (待出版)

黄毅. 颇具特色的教材《振动力学》. 力学与实践, 1999, 21(3): 79

于开平. 振动力学相关课程设置及教材分析.力学与实践，2017, 39(2): 185-191

季文美，方同，陈松淇. 机械振动. 北京. 科学出版社，1985

Meirovitch,L. Elements of Vibrations Analysis. New York. McGraw-Hill, 1986

Magnus K, Popp K, Sextro W. Schwingungen: Grundlagen-Modelle-Beispiele (10 Auf.). Wiesbaden: Springer, 2016

Ginsberg,J.H. Mechanical and Structural Vibration: Theory and Applications. New York. John Wiley & Sons, 2001

Wittenburg,J. Schwingungslehre. Berlin. Springer. 1996

附注：本文由刘延柱教授和我共同完成。刘延柱教授在第十三届力学课程报告论坛(厦门，2018.11.30-12.2)做分会场报告。