最近不断在以各种形式整理研究生这几年的经历，觉得简单结合自己的经验、教训以及从师长同学那里接收到的各种信息，聊聊概率论的学习以及研究建议，倒是件不错事情。

老实说，如果让我重新选择学习概率论的路径，其结果会和现在有不小的区别。这种区别并不是资源意义上的，因为我至今仍然觉得不管是我的本科四年，还是研究生五年，都有充足的资源可加利用，关键是你如何利用的问题。我就想分几次，跟大家聊聊这个“如何利用”的问题，这其中很多是自己走过的弯路，以及自己目前迫切想填补的空缺。

当然，不同的人学习概率论或者随机过程的目的都不一样。大家应该根据自己的需求来阅读这部分的文字。

今天谈谈本科阶段的准备。既然学概率就是学数学，本科阶段就要打好数学的底子。专业基础课的份量自然不必多说，我重点想谈的是关于概率方面的课程要达到怎样的目的。一般来说，本科概率方面的基础课程是初等概率论和数理统计学两门，如果有条件，还有机会学习应用随机过程。当然，还有一些统计方面的课程，比如时间序列、多元统计等等，但我就重点讨论前面三门课：

初等概率论：因为没有测度论的基础，所以这期间最重要的任务有两个：通过具体的概型和模型，直观上理解“概率”及其基本概念的含义；另外，要熟练掌握一些基本的概率运算，因为本科概率论依托的基本上是微积分的基础，所以对于离散型和连续型的随机变量方面的运算要有一定的训练。二者缺一不可。一方面，认识到概率论的相关概念的背景意义，才能不至于陷入没有方向的死算；另一方面，概率论是非常讲究计算的一门数学，仅仅停留在概念上，是不会有充分的概率感知的，所以我本科的时候，概率论学得不错的同学都是微积分底子好的同学，对于级数和积分的运算很熟练。

数理统计：数理统计的风格跟概率论又不一样，它的任务同样有两个：首先，要理解统计理论背后的思想，因为统计方法的提出，很多时候是基于人们主观的经验，比如极大似然估计。所以要理解，统计最开始并不是一个“对或不对”的问题，而是“有没有道理”的问题，而这个道理则是用概率中的一些原则去支撑（如相合性）。这对于我们的思维是一次挑战。基于统计思想的解读，下一步还是要会算，数理统计的计算更多的是概率运算，所以这些运算能更好的帮你理解概率论中的一些概念和定理。

应用随机过程：很多朋友会误解，认为本科的这门课应该很“应用”，但其实并非如此。被冠以“应用”，主要还是区别于研究生的专业随机过程，因为测度论还没有学。所以，应用随机过程可以理解成“回避测度论的随机过程”。当然，有些教材的的确确是在突出“应用”的部分，会讲授一些随机过程的应用。但我的意见很直接，大家在应用随机过程的课程中，就干一件事：学好一个叫做“马氏链”的模型。虽然一般来说，老师们会讲除此之外别的东西，比如布朗运动，但是我的个人意见是，通过一个学期的课程，不可能掌握很多内容，如果不考虑应付考试的压力，大家多花精力在马氏链模型上，它的数学描述相对简单，理解起来也更容易，对于培养概率直观，以及未来的应用，都是很必要的。

 

有一个问题是，本科阶段应不应该学测度论？当然北大的本科生要求很高，在大三都会学习测度论。我想这个因人而异吧。这么说，测度论是概率论的现代语言，或者说它是概率论的数学形式，但它并不是概率论的精神。个人建议，本科的时候，还是多培养概率的直观，至于概率的数学部分，以具体的计算训练为宜。

另外，有两门课我要单独拿出来提，一门课是常微分方程，另一门课是物理。对于概率论的学习，这两门往往不受重视，或者训练不够。一方面，随机过程作为“概率版的动力系统”，在研究中时常要跟“确定版的动力系统”作比较，比较它们之间的异同是一件非常重要的事情，也会催生出很多有价值的问题；另一方面，关于物理，我的看法是虽然很多具体的物理知识一时间很难反馈到概率学习中，我们需要物理直观的积累和物理的方法论训练，因为一旦概率论脱离物理直观，它就是只是个二等货。概率从来都不是形式化的，它的价值恰恰体现在它总能很好的联系物理。所以物理学习不仅重要，而且是个不断的积累过程。

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