物理学笔记（6）：基尔霍夫定律的“盲点”

   不得不说，我是一个无聊的人......

  曾经有位初三的小朋友来问我电路问题。这位小朋友物理基础似乎不错（至少初中物理基础），这诱使我产生了做个“小试验”（不是“实验”！）的冲动，于是乎故作神秘告诉他：我现在传你一个一劳永逸的“秘术”，但你到上大学之前，只能在草稿纸上演算，万不可轻易示人。如果你不听我的，考试扣分别怪我哦！——估计许多朋友已经猜到：所谓“秘术”，不过就是电路拓扑的基尔霍夫定律（KCL & KVL）罢了——我以为，就直流电路的情况而言，一位数理基础良好的初中生完全可以掌握它。

  不出所料，小朋友掌握的情况还不错，即使这个两个定律在他上大学前所遇到的电路求解问题中并不实用——除了一些简单的电桥电路外，在初高中阶段使用KCL和KVL，甚至还有点儿“脱了裤子放屁”（谁叫我这么无聊呢！），就算他有点儿“无用的收获”吧。

  其实，真正的收获是我的，虽然微乎其微：由于他们在初中阶段遇到的电路都是“理想电路”（即考虑内阻或内压降为零的“理想电源”），在解算过程中，我不经意地意识到了基尔霍夫定律一个非常隐蔽的“盲点”。之所以隐蔽，是因为我们在使用基尔霍夫定律是主要面对的是“实际电路”，这使得该“盲点”被自然地规避了。换句话说，在实际问题中，无论你有没有意识到这个“盲点”，一般不影响电路的求解——要不然怎么说我很无聊呢？

  我们现在使用的基尔霍夫定律是古斯塔夫·基尔霍夫（ Gustav Kirchhoff）于1845年提出的，它一般被表述为两个定律：基尔霍夫第一定律，也叫电流定律（KCL）；基尔霍夫第二定律，也叫电压定律（KVL）。

对一个占据空间体积的V闭合曲面（高斯面）S，由电荷守恒定律易知：S内单位时间减少的电荷等于单位时间从边界 $\partial V$ 流出的电荷，即

引入电流强度定义，则

由此可得到电荷守恒的数学表达式——电流连续性方程，取其微分形式为：

$\rho$ 为体电荷密度。

对某一电流场 $\overrightarrow{j}$ ，若任意高斯面内 $\frac{\partial \rho }{\partial t}=0$ ，则有描述此类电流场的稳恒电流条件：

电荷守恒定律在稳恒条件下可充分导出电路学中的基尔霍夫第一定律：任一节点处的各电流的代数和等于零，即

也就是说，KCL本质上是电荷守恒定律在电路中的反映。

KVL则是能量转化与守恒定律在电路中的反映。根据静电场（有势而无旋）的安培环路定理，结合部分电路的欧姆定律的积分形式（也就是初中物理教的欧姆定律）I=U/R，可以很容易得到基尔霍夫第二定律：对任一闭合回路，各支路上的电压代数和等于零，即

KCL和KVL究其本质，都是对称或守恒，且是一种动态的守恒：前者“有进有出”，后者“有升有降”。就其守恒本质和在稳恒电路的应用，初中生是可以掌握的。

我们有必要保持审慎：物理学中不存在“放之四海而皆准的真理”。关于基尔霍夫定律的适用条件，一般文献（教材）给出类似这样的说法：原则上它可以用来解算任何复杂电路（当然在推广到交流的情形时，应引入含时电荷密度和元件电感的修正）。

我一般比较警惕有“全称量词”（ $\forall$ ）与“必然模态”（ $\square$ ）的论断表述，比如周衍柏先生的《理论力学教程》中的表述（p326）：哈密顿原理是和牛顿运动定律等价的原理......甚至牛顿运动定律也可认为是哈密顿原理的必然结果——我就持保留意见，至少“牛三”应视为基本的实验定律。

那么基尔霍夫定律的“盲点”在哪儿？

——基尔霍夫定律不适用于存在零电阻回路的电路。比如下图：

若并联的两个电源为零内阻的理想电源，则电路存在一个零电阻回路（虚线箭头所示）。此时，除非两个电源输出的路端电压（理想电源，路端电压=电源电动势）相等，基尔霍夫定律不适用。

补记：

感谢各位老师补充指正！

其实所谓基尔霍夫定律的“盲点”，或者说零点阻回路，正是理想电路模型的“奇点”——我时常强调“奇点意识”，在这里却把它“忽略”了，实在不应该！

这个纯属臆造的“电路”，是否类似于“克里特人”或者那位脾气古怪的“理发师”呢？？？

根据部分电路的欧姆定律

$I=\frac{U}{R}$

R=0这个“奇点”是十分明显的，在实际情况中，即R足够小（小到在实验中可以忽略），它的物理意义一般理解为元件的“短路”（若U足够大则意味着“击穿”）。

而在通常的电路分析中，理想电路模型无法给出自由电荷的微观运动图像。基尔霍夫定律在零电阻回路的失效，其实是理想电路模型在“奇点”失效了——微观图像则需要依赖其他模型近似给出，比如在经典情况下，金属电子论给出的电流微观表达式（当然固体物理中还有其他模型近似）

$I=ne\overline{v}s$

其中 $\overline{v}$ 为载流子的迁移速率，是外场与介质（晶格）阻碍的结果，是一个平均速率而非瞬时速率。关于此中“细节”，L.Cooper在《物理世界》（An Introduction to the Meaning and Structure of Physics的中译本）中是这么说的（p350~251）：

如果在导线的两端加上电位差，导线中就会产生电场，也就是说，将有一个力开始作用于电子。倘若电子可以自由运动，那么它的加速度将等于a=F/m=eE/m，此时它的速度将不断地增大。结果是，电流将随时间和增长。这种景象可以在所谓理想导体中观察到。在这个意义上，普通的金属都不是理想导体。一般说来，在一个稳定的电位差作用下将产生一个稳定的电流，也就是说，导体中的电子以某个不变的平均速度运动。产生这种情况的原因之一是，电子与物质中的杂质不断碰撞。开始时，电子被加速，但通过某个平均自由程距离以后，电子与杂质相碰撞并失掉它的平移运动的大部分能量。然后，它又开始重新加速，如此等等。其结果是，电子以某个平均速度朝着电场引起的力的方向运动，因而出现某个平均电流。这个结论与观察结果一致，即纯材料的导电性能优于有杂质的同类材料。

当我们把一个固有理论（定律、公式或模型）推演到“奇点”附近时，“风险”极大，务必慎之又慎，慎之又慎，当引以为戒！