尺规作图：被遗忘的思维体操

    引子·被遗忘的思维体操

    一段时期以来，坊间有这样一种看法：我们的基础教育与高等教育（相关专业除外）缺乏逻辑的训练(至于为何需要，已不需要我来啰嗦)。除个别专业需要，我们确实没有明确且系统的“逻辑课”，但必要的逻辑训练还是存在的。以基础教育为例，逻辑训练被分散在数学、计算机、语文、物理、化学、生物等课程中。问题在于被分散的逻辑训练往往停留在教学大纲的表述中，而实际操作则依赖于老师在“应试”约束下自行把握火候。

   笼统地讲，学生在几何学中感悟“公理演绎”，在代数与计算机中感悟“算法”，在集合论基础、语文的阅读理解和病句分析（实际上是关于现代汉语语法的分析）中理解“概念”，在理化生（高中物理除外）中学习“归纳”......尤其是数学这门课，被誉为“思维的艺术体操”（我印象中，这是华罗庚先生的说法，不知然否），其中几何证明（特别是初中的欧氏平面几何证明）在思维逻辑上的训练强度并不低，至少不低于公务员考试的“行测”——这也符合“七艺”的传统。

   我一度一厢情愿地认为：在现有分散的逻辑训练的基础上，在“思政”课程体系的哲学部分增加形式逻辑学的基础知识也许可以起到提纲挈领、纲举目张的效果。

   近年的观察给我浇了盆冷水。就我观察到的范围，原本分散的逻辑训练正在稳步地弱化：至少在四川，平面几何、语文的语法要求在逐年下降，计算机早就和音体美一样被边缘化，理化生的实验更是形同虚设——就以应试的验收标准来说，中考还有聊胜于无的实验操作考试，高考卷面所谓“实验题”完全脱离了实验教育......

   把下面这篇旧文翻出来，缘于三年前有小朋友告诉我，他们初中已经不学“尺规作图”这种老掉牙的东西——而在我看来，老套的尺规作图恰恰是平面几何中逻辑思维训练的精华！

     以尺规作图求两相离圆的外公切线

     ——线段比例作图问题的“参考线段法”

尺规作图（没有刻度的直尺与没有度量功能的圆规）求两圆公切线是困扰我多年的一个几何作图问题，其难点在于对切点的确定。一般地，仅在满足两圆内切或两圆半径相等条件的特殊情况下，我们可以容易地确定切点。余下的情况则颇令人“痛苦”。

此处所论，即半径不等的两相离圆外公切线的求作。该情况具有明显的普遍意义。

如图：某一欧氏平面内，圆O₁与O₂相离，其半径分别为R₁、R₂，已知两圆心距离为l，求作直线l^'为两圆的一条外公切线。

图1

记得读初中时，我曾问过自己的数学老师，她思索一番后表示无能为力，又因为“考试不考”这样“俗不可耐”的原因，就渐渐淡忘了......

很多年后，一次偶然的机缘，我在一位好朋友那里读到了匈牙利裔美国数学家乔治·波利亚（George Polya）的《数学的发现》（刘景麟、曹之江、邹清莲译，科学出版社）。“大神”波利亚在他的著作中就此种情况提供了一个十分巧妙的解法，他提到：

一个显然与之关联的问题是(假定读者已经知道它的解法)，从圆外一点作已知圆的切线。这个问题实际上是所提问题的极端情形，即两个给定圆中的一个退化为一个点。通过变化已知量这种最自然的途径便可以达到这种极端情形，例如缩小一个圆的半径而让另一个圆不变，或是缩小一个圆的半径而放大另一个圆的半径，或是同时缩小两个圆的半径。这时我们突然闪出一个念头，如果让两个圆同时按同样的速度缩小，那么两个半径在相同的时刻里就减少了同一长度，画一画这个变化的图，我们就会看到，每一个公切线也在移动，但移动时保持着彼此平行，直到最后得到了图2。这也就是得出了解法：从较小的圆的圆心出发，作新圆的切线，这个新圆与较大的圆同心，它的半径是两个定圆的半径之差。利用这样得到的图形作为一块跳板，由它出发，即可容易地得到所要求的外公切线（只需作两个矩形就行了）。

图2

类似地，从其中一圆的圆心出发，作新圆的切线，新圆与另一个圆同心，其半径是两个定圆半径之和。同理可得到两圆的内公切线。

图3

波利亚这个方法令我五体投地，其中“极端”与“动态”变化的技巧简直妙不可言。

佩服之余，还是有些“不服气”，波利亚的方法太“奥数”了——当“答案”来得太突然时，你还是会试着想想还有没有其他的办法！

恰好那时我正在读笛卡尔的《方法论》（Discourse on the Method）的附篇《几何学》。笛卡尔在《几何学》中为了建立我们今天熟知的“笛卡尔坐标系”提到了一种引入“参考线段”的作图方法（他还用这种方法讨论了一次、二次到高次代数方程的求解）。我便试着通过引入“参考线段”来处理两圆公切线的尺规作图问题——姑且把这个方法称为“参考线段法”。

我的“参考线段法”的结果如下图所示：

图4

我的方法主要分三步，分别求作线段lR₁/t(t为引入的“参考线段”)、lR₂/(R₁-R₂)与公切线l^',每一步我都给出了证明。具体步骤较为繁琐，提供一个PDF，供有兴趣的朋友指正参考：

试以尺规作图求两相离圆的外公切线.pdf

该方法还可用于以尺规作图确定两外切圆的外公切线、两相交圆的外公切线以及两相离圆的内公切线。

显然，我的方法比波利亚的复杂得多，就像尺规作图里的“欧氏蛋”相比于“汤比蛋”——所以同志们参考的意义也不大。但一想到这是与波利亚老先生不同的“原创”方法（如果与我尚不知的“古人暗合”，也无所谓），兄弟我也就心满意足地收工了......

后记·无聊么？

记得初中时，一位数学老师告诉我：苏步青老人家在初中三年做了一万道平面几何证明题（不知确否）——乖乖，按一年365天计，苏老先生平均每天要做9道，看来“微分几何”的火车也不是推的！

对兄弟我而言，做这等“无聊之事”无非是想找回若干年前在课桌上做出一道几何证明题的小小满足感罢了（且满足感与最终完成的做题耗时正相关）——闲来没事动动脑子，做做“思维体操”也是极好的嘛！

就这老掉牙的“尺规作图”，据说偶尔也有“奇效”：

去年底在成都科协开一本科普书再版研讨会，与会的张景中先生提到了一件旧事：张先生与其学生曾利用复平面方法（这个方法也可以用来讨论高斯的尺规作正十七边形）发展了所谓“生锈圆规作图问题”，成果相继发表于《中国科学技术大学学报》（《锈规作图论》，1987）和Geometriae Dedicata（What can we do with only a pair of rusty compasses，1991） 。

郑重申明：请不要在这里讨论“几何作图三大难题”，兄弟我真的不懂啊！！！