悲剧

Tragedy

按：最近两天的博文有滑向“顽固派”的危险，经慎重考虑，兄弟我决定“整风”向“革命派”至少是“改良派”靠拢，遂翻出这篇旧文贴出来。敬告读者：其中涉及数学、元数学（metamathematics）、数理逻辑、证明论，点到即止（一些表述可能比较模糊，之所以壮着胆子写了，是想提供普朗克量子论诞生同期数学演化背景），若有对数学相关细节有兴趣，请参阅相关专家“科普”，鄙人主要讲物理故事......

哥德尔定理部分，推荐应行仁老师的科普系列：《哥德尔定理的证明》http://blog.sciencenet.cn/blog-826653-689727.html 

三体问题部分，我在文末追加一个附注——附注来自我的好友张任宇博士（http://blog.sciencenet.cn/u/philipzhang）

不过在戏台上罢了，悲剧将人生的有价值的东西毁灭给人看……

——鲁迅 《坟·再论雷峰塔的倒掉》

鲁迅先生给“悲剧”下的“定义”是审美层面的，是悲剧的外向性（extraversion）。悲剧还具有一种内向性（introversion），即——存在（existence or being）在时间中不可避免地走向毁灭。

序幕·混沌

《易》曰：君子慎始，差若毫厘，缪以千里。

——《礼记·经解》

悲剧之所以不断地产生，原因之一就是它来的时候总是静悄悄……

1889年，那个几何作图考0分，但文笔一流的

儒勒·昂立·庞加莱 Jules Henri Poincare (1854~1912)

从诺贝尔的“绯闻情敌”——米塔—列夫勒手上领走了瑞典国王奥斯卡二世（Oscar II）悬赏的2500瑞典克朗（Swedish Krona）与一枚金质奖章。

很多人都说出身法国显赫世家的庞加莱是个“天才”，那简直是太“客气”了，在数学与物理学之城里，满大街都是“天才”！与莱布尼兹、马赫、罗素一样，我们名之以“全才”——“全面的天才”！在“全”这一方面，他虽无法“空前”（亚里士多德的阴影），但注定已经“绝后”。

所谓“全”者，就是一出手便能数学、物理、天文以及未来的生命科学种种一网打尽。

1887年，大学时代数学还不错的奥斯卡二世在一帮数学家怂恿下发起了一场数学竞赛，其中的一道题目是牛顿、拉普拉斯时代的“遗物”——N体问题（N-body problem）的求解。

杞国有人忧天地崩坠，身亡所寄，废寝食者……

——列子 《列子·天瑞》

“忧天地崩坠”的行为在中国是愚蠢的化身之一，但是，“杞人”若托生欧洲倒是有可能跻身一流智者的行列——自牛顿万有引力定律建立，天体系统稳定性的问题就成了一把高悬头顶的“达摩克利斯之剑”（The Sword of Damocles）。简而言之，在知道日、月、地三者存在相互吸引的作用后，人们就开始思考一系列与切身利益相关的问题：

月球会不会撞地？

地球会不会被拉向太阳？

地球会不会被甩出太阳轨道？

……

“天地崩坠”从上古神话一下变成了与身家性命相关的未来，这个“未来”可能十分遥远，但决不能不考虑。所以，在不知何时而至的“末日审判”（Last Judgement）的恐惧阴影下，精确掌握天体系统中某个星体的位置变化便自然地成为了数学、物理以及天文学研究的一个重要方向。这个方向被抽象为一个普遍的数学或力学问题，即N体问题。当N=2时，称二体问题（two-body problem），比如日地关系、地月关系已经由牛顿本人获得了完美的精确解了。

那么下一步，就是N=3的三体问题（three-body problem）——不就是多引入了个质点（particle）吗？有什么大不了的，“兵来将挡，水来土掩”！

牛顿确实是这么想的。但是，这一次“名垂青史”、“光耀后世”的不是他，而是“N=3”！

拉格朗日、拉普拉斯、泊松、雅可比（Carl Gustav Jacob Jacobi）……“数理骑士团”史上最华丽阵容前赴后继，沉沙折戟，纷纷带着伟大的失败灰头土脸地去见了牛顿，数学家们终于明白“2”与“3”之间并不是只差了一个“1” ……

凭君莫话封侯事，一将功成万骨枯。

——曹松 《已亥岁》

失败是成功之母，这句话有一个“精细结构”（fine structure）——别人的失败是自己的成功之母！就像热力学第一、第二定律的建立，必然是以无数“永动机”（perpetual motion）美梦的破灭为前提，“先烈”们壮志未酬，重任已经“历史地”落在了庞加莱肩上。

与前人不同，站在同一个舞台，庞加莱极好地进入一个快被遗忘的角色——天体力学的先驱开普勒。

当没完没了的的圆圈都不能拟合出天体的轨道时，你就必须彻底地，果断地，甚至是狂妄地抛弃它们！——“一条走不通的路，就等于不存在”，这是悄悄流传的隐秘版“开普勒定律”。

即使把三体问题抽象至两个有限质量的质点与一个无限小质量（小到无法对两个有限质量实施力学上的影响）的质点，我们所面临的仍然是一组“壮观的”微分方程（differential equation）。初中数学老师告诉我们，一组代数方程（algebraical equation）可解的充分必要条件是独立方程个数等于未知量个数，当未知量个数多于独立方程个数时，方程组就是不定方程（indeterminate equation）组，它的解就会有无数个。类似地，对微分方程组而言，我们也希望找到一些不变量（invariant）来减少“未知量”，以使问题简化至我们可以获得精确解的程度，牛顿以及他忠实的追随者们就是这么干的，结果我们都知道了。

而捧走奖金和奖牌的庞加莱完成了三项工作，虽然他并没有在传统意义上最终解决“三体问题”或“N体问题”，但是这三项工作无疑是具有里程碑意义的。首先它足以安抚 “极其有限的大众”（必须承认，就算是在欧洲，能达“杞人忧天”境界的亦非凡人）——太阳系是稳定的，其次“三体问题”作为一个“下金蛋的母鸡”的潜质已经被充分的挖掘出来了：

其一，庞加莱证明当N大于2时，微分方程组不存在统一的首次积分（uniform first integral，只与时间、坐标、速度有关的代数首次积分）。一言以蔽之，就是“三体”乃至“N体”无法用传统的首次积分方法求解。

其二，庞加莱开发出了一套全新分析工具，工具名略（不好意思，正如杨振宁老先生的调侃“数学家的语言有时太‘干燥’”，我没怎么看懂）……这些方法不仅促成了对“N体问题”中天体轨道的定性研究，还构成了全新的现代数学或力学分支微分方程与微分动力系统（Differentiable Dynamical Systems）的核心。笼统地讲，就是庞加莱在探讨“N体问题”的过程中开拓出了一个全新的数学方向。

其三，庞加莱用他的数学“放大镜”第一次揭示了自然界最广泛且最隐蔽的性质——初始条件敏感依赖。也就是说，即使是一个遵循牛顿力学的系统，若初始条件作细微变化——“差若毫厘”，也会使得最终的结果有天壤之别——“缪以千里”。物理学在严格的牛顿力学框架下预测未来的信心受到了毁灭性打击。

“君子慎始”——庞加莱最终将他第三个发现小心翼翼地封存起来，他似乎意识到了什么……

Does the flap of a butterfly’s wings in Brazil set off a tornado in Texas?

一只巴西蝴蝶轻轻拍打翅膀导致德克萨斯的一场龙卷风吗？

——马尔里斯P. Merilees为E. N. 洛伦兹E. N. Lorenz演讲拟定的标题

大约70年后，被庞加莱雪藏的发现有了一个通俗且时髦的新名字——混沌（chaos）。

混沌，可怕的混沌！

圣殿里，教皇宝座上的牛顿面容憔悴——残阳如血，西风凛冽，在概率与统计的第一轮冲击中摇摇欲坠的经典物理大厦已经到了崩溃的边缘……

三国式悲剧·确定性的丧失

董卓作乱，汉室倾颓。曹操矫诏，一十八镇诸侯会盟讨贼。平原县令刘备也来“凑个热闹”……

1900年8月8日，还是法兰西的巴黎。

索邦大学（Sorbonne）报告厅，第二届国际数学家大会（the International Congress of Mathematicians）会场掌声雷动。在万众瞩目中，哥廷根学派全盛时期的掌门人、数学家中的“无冕之王”、“数学界的亚历山大”

大卫·希尔伯特 David Hilbert (1862~1943)

受大会主席庞加莱邀请，从容走上主席台——

先生们！

Who of us would not be glad to lift the veil behind which the future lies hidden……

我们中有谁会不乐于去揭开隐匿的未来面前那层面纱……

在这篇名为《数学问题》（Mathematical Problems MATHEMATICAL PROBLEMS.pdf）的传世演讲中，希尔伯特一口气提出了23个有待解决的数学难题。除去其中照顾徒弟的“私心”、吞并物理学的“野心”外，“希尔伯特问题”（Hilbert’s problems）作为即将到来的20世纪数学发展的指路明灯是当之无愧的。

理性的先锋队——数学军团，迅速集结到了王者的旗帜。旌旗翻飞，兵强马壮，几何、代数、分析三大主力志得意满，各路干将擦掌摩拳，只待倾巢而出，直捣黄龙。23道命令已经下达，数理帝国新一轮开疆拓土的壮丽征程已是箭在弦上，不得不发！

……

纪录片必须在这里打住，拉普拉斯妖的超强性能明显实效了。这令人热血沸腾的景象既不是过去的结果，也不是未来的原因。恰恰相反，我们之所以对巴黎“盛会”有上述印象，正是因为站在100年后的回望——辉煌的结局造就传奇的开端！

讨董联军的盟主是“四世三公”的袁绍，不是“汉孝景帝玄孙”的刘备！

与会者质量都不怎么样！——会后，希尔伯特如是说。实际上，孤独的王者只当场下达了10道命令。杂乱无章的会议秩序、被迫中断的演讲、冷淡的听众反应……这一切怎么配得上数理十字军的誓师大会，怎么配得上神圣东征号角吹响前的序曲？

数学并不一定是数学家生活的全部。对与会的大部分数学精英而言，他们如此费尽周折地齐聚巴黎，除了回望古典数学的往昔峥嵘，展望20世纪的美好明天，还有一个彼此心照不宣的内心冲动——塞纳河畔的“别样风情”，时尚之都巴黎，那纸醉金迷的“夜生活”！

这个夜晚，位于巴黎北部蒙马特高地（Montmartre）的“红磨坊”（Moulin Rouge）几乎化为索邦大学报告厅的翻版，风姿绰约的法兰西舞娘“有幸”成为来自五湖四海的数学家们的“忠实听众”。在美人、佳酿、法式香吻、靡靡之音的环饲中，以风流倜傥闻名的希尔伯特无疑成为了最引人注目的明星，早晨的失落与挫败感在这个夜晚一扫而空。流光闪烁的舞池内，妖艳的女郎连声惊呼——原来，“数学之王”的舞步，可以和他在解决难题时展示的数学技巧一样，令人眼花缭乱，啧啧称奇……

当然，“亚历山大”不会永久流连在“温柔乡”。希尔伯特没有停止他的脚步，他还有自认更崇高的使命——数学本身的“合法性”！

在牛顿纪元后的两百年里，人类认知疆域的立宪大会早已通过了一条明晰的不成文法——一切自然科学合法性的标杆是数学。这是科学教皇牛顿以来赋予数学的世俗权威，是经典时代所有纯粹数学家享受他们精神优越感的资本。1897年，第二次数学危机的硝烟尚未散尽，第三次数学危机（the third crisis of mathematics）又携翻天覆地之威，气势汹汹地杀将而来。继贝克莱主教的“无穷小量”之后，德国疯子康托尔（Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor）的“集合论”（set theory）荣升第三任幽灵。这一次的暴风雨来得更猛烈，数学自身的合法性遭遇了其诞生以来前所未有的毁灭性打击。

话说天下大势，分久必合，合久必分……

——罗贯中 《三国演义》

一片混乱中，由于数学基础的认识分歧，数学军团走向分裂，形成各自为政，相互攻伐的三路大军——赤壁一战之后，三足鼎立之势已成：

“魏”——以逼疯康托尔的利奥波德·克罗内克（Leopold Kronecker，康托尔的老师）、庞加莱、布劳威尔（Luitzen Egbertus Jan Brouwer）等为首的直觉主义学派（School of Intuitionism）：欲革旧立新，改天换地。颇有经验批判主义大师马赫老先生遗风，十分亲近经验色彩浓厚的自然科学，以“存在即被构造”拒绝一切形而上的无穷与无限，不接受亚里士多德的逻辑排中律，甚至（比如克罗内克）高擎毕达哥拉斯“教主”大纛，连无限不循环的无理数都不承认。

“吴”——以文理通吃的贝特兰·罗素、皮亚诺（Giuseppe Peano）、弗雷格（Friedrich Ludwig Gottlob Frege）、怀特海（Alfred North Whitehead）等为首的逻辑主义学派（School of Logicism）：以还原论色彩的“数学=逻辑+符号”保“江东”——数理逻辑之全土，徐图天下。在旁人看来，这帮分裂势力不仅没有灭火，反而大有风助火势之举，必欲将乱世进行到底而后快。他们可以花上300多页的篇幅去给出1的“严格”定义；可以弄出了个令数学家头痛至今的“罗素悖论”（Russell’s Paradox），其通俗版为“理发师悖论”——一个只给不给自己理发的人理发的理发师是否应给自己理发？

“蜀”——以力挺康托尔的哥廷根掌门希尔伯特为首的形式主义学派（School of Formalism）：古典正统余脉，根红苗正。恪守形而上传统“价值观”，不以经验较真理之短长，唯无矛盾者为真，唯相容性（compatibility）为真。

三国纷争，生灵涂炭。当此乱世，最忧心忡忡的莫过于以“汉室宗亲”自居的“刘皇叔”——希尔伯特。为标榜正统，刘备的西南割据政权从来以“汉”为国号，而不会自称为“蜀”，这个习惯性称谓则是篡汉的魏政权之“发明”（吴政权在较长时期内仍然承认“汉”的正统地位）。希尔伯特本人也并不以“形式主义者”自居，这顶帽子恰是“夙敌”罗素和布劳威尔给他扣上去的，意在削弱其古典数学的正统地位，而希尔伯特深知“汉贼不两立”，欲正纲纪，必先讨“国贼”——直觉主义！

身兼“刘备”、“诸葛亮”双重角色的希尔伯特历经十余年艰辛，终于定出“北伐方略”——希尔伯特纲领（Hilbert’s Program）。与逻辑主义者的信仰类似，希尔伯特极端推崇欧几里德的《原本》范式，试图把整个数学建立在一组抽象而兼容的公理系统基础上，通过对公理系统的演绎推算扩展出数学的全貌。那么数学自身的“合法性”就有了具体的含义，即公理系统的无矛盾性或相容性。“纲领”为新时代的数学家们提出了一个崇高的战略任务——

去证明这种相容性，捍卫数学神圣的“合法性”！

至于“兵出子午谷，直取长安”还是“六出祁山，绕道雍凉”的具体战术进程，希尔伯特选择较稳妥的后者。他主张先“屯兵汉中”——将古典数学公理化，其二“袭取祁山九寨以为根基”——将公理化成果用纯符号表述以实现彻底的形式化，其三“巩固雍凉，威慑秦川”——规避“无穷”风险，在有限步骤构造“元数学”（metamathematics），待时机成熟便“下长安，破洛阳，汉室可兴”——以元数学证明形式系统的相容性，形式系统“合法”则古典数学“合法”！

出师未捷身先死，长使英雄泪满襟。

——杜甫 《蜀相》

1930年1月23日，年届七旬的希尔伯特在哥廷根迎来盛大的退休典礼——白帝城的那一夜，刘备把江山社稷托孤于诸葛亮；五丈原的秋风中，孔明把汉室生机交付与姜伯约。在“恨不能临阵讨贼”的痛苦中，老人发表了自己作为数学家的临别告白……时光一去80年，我们还能清晰地听见老人饱含深情的最后一声呐喊：

We must know, We will know!

我们必须知道，我们必将知道！

作为古典“四大名著”之首的《三国演义》，其魅力在于散发着一种浸透了历史苍凉感的永恒悲剧性，罗贯中用恢弘大气的笔触渲染了一幅令后人唏嘘不已的史诗画卷——寄托了文人士子理想与正义的蜀汉政权之命运，是诗化的历史，是从坎坷走向辉煌，从胜利走向毁灭……

几乎就在希尔伯特动情演讲的时候，他对数学规划的乐观远景戛然而止。

“柏拉图”悄悄地回来了……

来自“维也纳小组”——“恩斯特·马赫学会”的

库尔特·哥德尔 Kurt Gödel (1906~1978)

一位25岁的奥地利逻辑学家、数学家、哲学家（将来还要友情客串物理学家），携带史无前例的摧毁性以一个恐怖魔鬼的狰狞面目出现在他陷入混战的同行面前。

洞穴阴影再次来袭……

1931年，人类理性进程中最具颠覆性的重量级论文《论〈数学原理〉及有关系统中的形式不可判定命题》（On Formally Undecidable Propositions of Principia Mathematica and Related Systems）在维也纳公开发表。从题目上看，数学“柏拉图”的意图十分明显，他的关注焦点放在了怀特海与罗素合著的逻辑主义“圣经”——《数学原理》（Principia Mathematica）与希尔伯特的形式系统；从内容上看，哥德尔成功地解决了1900年提出的“希尔伯特第2问题”——算术公理的相容性（The compatibility of the arithmetical axioms）证明……

但是，希尔伯特怎么也高兴不起来，因为哥德尔的结果与数学之王的预想南辕北辙——

相容性？——哥德尔扶正他的黑框眼镜——根本不可能！

从算术公理系统开始，一夜之间，“火烧连营七百里”——烈火熊熊中，希尔伯特纲领灰飞烟灭！

四周光明骤然黯淡，数学家猛然发现自己仍然身处阴暗的洞穴。他们惊恐万分，洞口被两头穷凶极恶的“畜牲”把住了去路，那是冥府的门神，一对恐怖的地狱之犬——赛博拉斯（Cerberus）：

一头叫“哥德尔不完备性第1定理”（The Gödel’s Incompleteness Theorem I）：任一足以包含自然数算术的形式系统，如果是相容的，则它一定存在一个不可判定命题，即存在某一个命题A使A与A的否定在该系统中皆不可证。

另一头叫“哥德尔不完备性第2定理”（The Gödel’s Incompleteness Theorem II）：在真的但不能由公理来证明的命题中，包括了这些公理是相容（无矛盾的）这一论断本身。也就是说，如果一个足以包含自然算术的公理系统是相容的，那么这种相容性在该系统内是不可证明的。

数学家们战战兢兢，徒然任两头恶犬狂吠……阴影中，哥德尔（他当然也在洞穴里面！）依旧平静：

你是叙拉古的阿基米德，

再严密的防守，

也必然存在破绽；

你是不列颠的牛顿，

再精妙的构思，

也不能杜绝漏洞。

接受现实吧，

我的“亚历山大”，

有些事情，

我们永远也无法知道！

数学、逻辑、或者说人类伟大的理性，它的确定性已然终结！

顺便说一句，“命题A”学名“哥德尔命题”（Gödel’s proposition），它后来作为主角参演了一部卖座的好莱坞（Hollywood）大片，名字叫The Matrix（矩阵），中文译名《黑客帝国》……

1900·无可奈何花落去

无可奈何花落去……

——晏殊 《浣溪沙》

在很多人模糊的印象中，牛顿王朝的崩溃时间被设定于公元1905，而“物理学编年史”中记载是这样的：

牛顿王朝 Newtonian Dynasty（1687~1900）

终点，公元1900。

在人类理性之域，这是值得铭记的一年：

4月27日，伦敦，开尔文勋爵发表演讲，他为物理学家指明了“乌云”；

8月8日，巴黎，希尔伯特发表演讲，他为数学家下达了“命令”；

8月25日，八国联军占领北京的第9天，叫嚷“上帝死了！”的德意志疯子尼采死了，但是这并不意味着“上帝复活了！” ……

现在，时间：12月14日；地点：柏林。

中规中矩的柏林洪堡大学（Humboldt Berlin University）教授、普鲁士科学院（Prussian Academy of Sciences）院士

马克斯·卡尔·恩斯特·路德维希·普朗克Max Karl Ernst Ludwig Planck (1858~1947)

这位上课从不带讲稿，也从来不会有口误的讲台“老资格”，今天竟有些紧张，像一个初次参加论文答辩的学术新兵，怀着忐忑不安的心情走上了柏林物理学会（The Berlin Physical Society，即今天的德国物理学会）的例会讲台。

从台下的座位到讲台不过几步的路程，普朗克竟然好像走了很多个世纪……

科学的历程，往往是抽象理论与具体经验的长途赛跑。有的时候，在纸上推公式的数学家或理论物理学家走到了前面；也有时候，在瓶瓶罐罐与机器轰鸣中的实验员或工程师迎头超越。在工业革命如火如荼的年代，无数科学的果实就诞生在蒸汽笼罩的技术喧嚣之中。

在冶金工厂里，某位细心的工程师偶然发现了一个有意思的现象：熟练的冶炼工人可以通过炉火的颜色大致判断锅炉的温度。这种不需要借助任何精密仪器的经验估计激起了他的兴趣，后来他把这个有趣的发现分享给了专注于热力学或辐射学（radiology）的物理学家朋友。

经过物理学家必要的数学抽象与物理简化，我们有了一个新的物理学模型（physical model）——黑体或绝对黑体（black body or absolute black body）。这是一种奇妙的“物体”，它像土财主痴迷金币那样贪婪地吸收一切投射到它的能量，一点都不反射（reflection），所以我们形容它就像土财主的心一样，是完完全全、不带杂质的黑色。但是，再高明的“葛朗台”（Grandet）也拦不住自己的财产一点一滴地悄悄溜走，黑体吸收的能量最终要以热辐射的形式返还给外界。

普朗克的授业恩师基尔霍夫（Gustav Robert Kirchhoff）教授研究发现，“守财奴”的“资产外流”是有一定数学规律的——黑体辐射（Black body radiation）的能力只与其辐射波长（炉火颜色）和温度（锅炉温度）有关。但是，基尔霍夫并没有给出具体的辐射谱（radiation spectra），即辐射能力、波长、温度三者之间的定量数学关系，后续工作只有交与后人完成。

1896年，德国物理学家维恩（Wilhelm Carl Werner Otto Fritz Franz Wien）从热力学出发，结合一些特殊假设给出了一个比较令人满意的黑体辐射数学关系——维恩公式（Wien’s Formula）。次年的精确实验表明，维恩公式在辐射的短波（炉火颜色偏蓝紫）区域与实测数据吻合十分完美，但在长波（炉火颜色偏红橙）区域出现了明显偏离趋势。4年后，在德国佬面前从来不甘落后的英国人奋起直追，以定量分析之精准闻名学界的世袭贵族瑞利男爵（John William Strutt, Baron Rayleigh，第2任卡文迪许实验室主任）与在天文学领域造诣颇深的金斯（James Hopwood Jeans）先后在麦克斯韦经典电动力学（electrodynamics）与玻尔兹曼经典统计力学的基础上推导出了一个理论基础更扎实的数学关系——瑞利—金斯公式（Rayleigh- Jeans’ Formula）。但自然确实是太幽默了，在数学的可怕折磨中诞生的瑞利—金斯公式并不比“德国版”的维恩公式好到哪里去，它在长波区域倒是很符合实验数据，但到了短波区域……

一贯喜欢开玩笑的保罗·埃伦费斯特惊呼——天哪，紫外灾难（ultraviolet catastrophe）！

我们惊恐地发现，辐射谱上瑞利—金斯曲线奔向了无穷大——当一个物理学理论预言现实中的某个物理量会变成无穷大时，就证明该理论失效了！

其实维恩与瑞利—金斯两个公式所遇到的问题，对今天的“科学家”来说已经习以为常了。在今天，面对同一组实验数据，10位“科学家”撰写的10篇“论文”可以有11种解释，而其中任何一种解释只要能与部分数据相吻合就完事大吉了；更何况，面同一组样品，10个“实验员”可以搞出12套数据（我承认：我就在实验室里遇到过这种情况）。初始条件敏感依赖、蝴蝶效应（The Butterfly Effect）、混沌无处不在，天气、室温、心情、股票、电影、足球赛、NBA……太多因素影响结果了，总而言之，没什么大不了的！

但在110年前，这可是个足以引发经典物理帝国全境恐慌的大事！

首先，我们需要在逻辑上确认两个事实：第一，黑体辐射实验现象的可靠性与实验数据的精确性不容置疑；第二，不要怀疑诺贝尔物理学奖得主维恩（1911）、瑞利（1904）以及没有得奖的金斯（很遗憾……）三位杰出物理学家的“智商”——数学推导，特别是在小数点后第3位发现整个一族惰性气体元素（element of inert gases，诺贝尔物理学奖的获奖原因）的瑞利男爵一贯持有实验精密与数学严谨的好名声！

对福尔摩斯来说，当所有可能情况都被排除以后，剩下的那个“最不可能”的情况就是真相！——所有物理学家都必须面对一个惨不忍睹的事实：

牛顿缔造的经典物理大厦之基座隐藏着一条极深的裂痕！

这条裂痕触及到了一个已经发酵成“废话”的“常识”——

Nature does nothing in jumps！

自然界从来不飞跃！

莱布尼兹语气很坚定，这是他和牛顿极少的几个共识之一。因为没有这个前提，他的微积分，牛顿的流数术都成了一叠废纸！我们的自然具有连续性（continuity），就像“1”与“2”之间的间隔是“无限”（infinitude），一个物体的运动以及度量运动的能量不存在最小的单位，其值应当想怎么小，就怎么小。

8个月前，睿智的英国老“气象员”开尔文就预报了“晴空”边界的两朵“乌云”，其中之一便是：在能量连续前提下，麦克斯韦—玻尔兹曼能量均分定理（the Maxwell-Boltzmann doctrine regarding the partition of energy）在热力学中遇到的困难。

历史给两种人留下了载入史册的机会：一种是不知不觉的蠢人，一个极其愚蠢而不自知的选择往往就改变了决定无数人命运的历史走向，这一点，因滑铁卢（Waterloo）惨败幽居圣赫勒拿岛的拿破仑在回忆到他“亲爱的”格鲁希元帅（Marshal Crouchy）时，深有感触；另一种是冷静而理性的智者，他们充分明白自己的一举一动在历史中的分量，所以他们往往显得小心谨慎，甚至有些畏首畏尾……

两个月前的10月19日，普朗克教授向物理学会提交了自己对黑体辐射的研究论文。在这篇论文中，普朗克“巧妙地”利用“内插法”（interpolation）将维恩公式与瑞利公式（金斯修正在1905年）中各自“合理”的部分“拼接”起来，形成了即吻合长波，又符合短波的普朗克公式（Planck’s Formula）。

但这种“庸俗”的数学技巧“卖弄”既不能服众，也不能满足普朗克自己，他必须给出自己公式的物理学解释——

讲台上的普朗克一遍又一遍地深呼吸，他想尽量克制住自己的颤抖，至于这种颤抖是来自紧张，还是兴奋，他自己也不知道。

在台下听众焦灼的目光中，在例会主席不耐烦的催促下，普朗克下意识整理了一下领结，最后深吸一口气，咽下唾液，开始宣读他的论文……

提问：普朗克教授，您的意思是……能量的辐射不是连续的，而是像粒子那样一份一份的……就像您命名的……“量子”（quantum）？

回答：呃……从辐射公式的理论推导这个角度考虑，我想，是这样的……

远日衔山，神情麻木的牛顿指着眼前一片模糊在烟尘中的废墟，转向了气喘吁吁的普朗克——

看，你的杰作！

我有罪，

我有罪，

我有罪，

……

听众们议论纷纷，普朗克默默走下讲台，一股强烈的负罪感油然而生——人类的艺术自此多了一种戏剧模式——普朗克式悲剧（Planck’s Tragedy），一个人将用自己余生的全部精力去实现自我否定……

热力学第二定律告诉我们，自然界的一切自发过程都是不可逆的。某些事一旦发生，除了上帝（祂死了！），无论用什么办法都不能消除它的影响。当躲在书斋里的普朗克教授绞尽脑汁地寻找妙法扼杀“怪胎”时，历史启动量子纪元……

三体问题附注：

Oscar II的原始声明:“Given a system of arbitrarily many mass points that attract each according to Newton’s law, under the assumption that no two points ever collide, try to find a representation of the coordinates of each point as a series in a variable that is some known function of time and for all of whose values the series converges uniformly.”[1]

这句话意思是对于任意一个符合牛顿万有引力的(有限)粒子系统，假定任意两个粒子（视为质点）不会相撞，给出每一个粒子运动轨迹的坐标表示，该表示的自由变量为时间的级数，而且这些级数在全空间一致收敛。只要给出一致收敛的级数解，就解决了n体问题。

   Poincare发表在Acta Math.上的论文并未证明这个问题究竟是可解还是不可解，但是伟大的Poincare给出了一种划时代的方法:常微分方程定性理论并为理解动力系统(esp. Hamilton系统)提供了大量全新而深刻的思想。

   1887年，Brun在Acta上发表了一篇文章，证明对n体问题只有10个首次积分，但他的证明有一些地方过不去。Poincare坚信这是对的，并在其获得Oscar奖的文章里，严格证明了这样一个结论：除了已知的十个首次积分外，n体问题不存在只与时间，位置和速度相关的代数首次积分。i.e.要想通过首次积分降维的方法解出n大于等于3的n体问题是不可能的，但这并不意味着，n体问题不可解，只是意味着n体问题不能用首次积分的方法得到。但是，Oscar问题明确说明了，应该用级数的形式给出解。事实上常微分方程解的存在唯一定理告诉我们，n体问题的解存在且唯一。真正对n体问题作出肯定回答的是两个人：K. Sunderman(n = 3)[2]和一个中国人Qiudong Wang(n大于等于4)[3]. 他们分别给出了在全空间上一致收敛的幂级数解(除去一个使得系统发生碰撞的初始条件的零测集后)。

   历史记住了没有解出Oscar问题的Poincare但忘记了Sunderman和Wang，这充分的嘲笑的Brower对构造证明的坚持。那个构造性的幂级数解，除了让我们看出有解之外，什么也没有告诉我们，其实Sunderman和Wang的结果不比常微分方程解的存在唯一性定理更深刻。这两个幂级数解收敛速度太慢，这使得它们甚至根本没有数值计算的意义。数百万项以后才可能比较接近真实解，这使得初值条件的微小扰动都可能带来巨大的误差，此即混沌。从Weierstrass设置的第一道问题的本意来说，Sunderman比Poincare更应该获得Oscar Prize，但是如果我们站在21世纪回顾这些历史，Poincare的工作才真正理解了这个问题。参考[4]

[1] http://en.wikipedia.org/wiki/Henri Poincare%C3%A9

[2] K. Sunderman, Memoir′e sur le probl′em des trois corps, Acta Mathematica 36(1912),

105-179.

[3] Q. Wang， The globa solution of the n-body problem, Celestial Mechanics, 50(1991),

73-88.

[4] F. Diacu, The solution of the n-body problem, Mathematical Intelligencer, 18(1996),

66-70.

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Why?——你懂的！