让我们把薛定谔方程“猜”出来！

按：聊点儿“科学”咯......

  一、从德布罗意到薛定谔

1905年之后，爱因斯坦几乎把全部精力都用到了建立广义相对论的艰苦斗争中，这项孤独寂寞而极具智力挑战性的任务使他无法分心顾及自己的“光量子”——以探求光的本质来培育“量子论”的路线图只有静待有心人……

1911年11月，时任第一届索尔维会议科学秘书的法国青年物理学家、第6代德布罗意公爵（6th duc de Broglie）——莫里斯·德布罗意（Maurice de Broglie）把大会记录原稿交给了弟弟，才从索邦大学历史系毕业的路易·德布罗意（Louis Victor de Broglie）。

 Louis Victor de Broglie (1892~1987)

物理学家们关于光、辐射、量子的唇枪舌剑激起了未来的第7代德布罗意公爵（1960）极大的兴趣。这个时代最聪明的一帮人对宇宙本质的深刻洞见把路易牢牢地吸引住了，他发现自己的志趣正一点一点地从文学与历史转移向物理和数学。最终，在庞加莱的名作《科学与假设》（Science and Hypothesis）、《科学的价值》（The Value of Science）“怂恿”下，路易决定转行学理论物理，并在1913年获得理学学士学位，这使得他能够基本无障碍地阅读物理学专业文献。利用一战期间在巴黎军事无线电部门服役的闲暇，路易认真研究了普朗克、爱因斯坦的论文。1919年，退役后的路易重返索邦，投入保罗·朗之万教授门下攻读理论物理学博士学位。

路易对爱因斯坦的“光量子”理论十分着迷，他认为其中蕴含着微观世界的全部奥秘。这期间他注意到了M. 布里渊教授发展起来的准经典理论——电子波（electronic wave）。

反者道之动……

——老子 《道德经·第四十章》

爱因斯坦让光波“重新”还原为粒子，能不能将电子这样的粒子“扩展”成一束波？

为了寻求这种“扩展”电子的数学方法，德布罗意在忙碌中度过了4年。

1924年，德布罗意向索邦大学提交了自己的博士学位论文《论量子理论》（On the Theory of Quanta 德布罗意的博士论文.pdf）。德布罗意在论文中阐述了一个自己建立的新概念——相位波（phase wave），每一个运动粒子都有相应的一束引导其运动的相位波，今天我们称之为德布罗意波（de Broglie wave）……

包括朗之万、佩兰等在内的答辩委员会难以在短时间内消化这篇“先锋性”的博士论文。不得已，朗之万教授向好友爱因斯坦求助。很快，答辩委员会收到了“权威”的回复。出于“私心”——二人物理学基本立场的惊人一致，爱因斯坦高度赞扬了德布罗意的原创性突破，并热情地讲论文送交柏林科学院使德布罗意的新理论广布于物理学界。

有爱因斯坦的“担保”，委员会通过了德布罗意的论文。答辩时，谨慎的佩兰问道：

德布罗意先生，如何用实验来证实你的波？

德布罗意，像经典时代的那些伟大“先知”一样作出了自己的预言：

你们会看到电子在波动！

3年后，德布罗意的预言成为现实。

德布罗意虽然大胆，却并不狂妄，他深知波与粒子之间蕴含了太多复杂的奥秘，并非一时之功可以解决的。所以，他在相位波理论中留了一手，刻意采用了模糊的表述以回避一些困难的细节。接力棒要交到第3个人手中……

1925年岁末，这已经是薛定谔教授在苏黎世大学的第5个年头。明年，他就39岁，“男孩子们的物理学”看来已经和他无缘了——算了，圣诞节要要到了，收拾东西，度假去！

Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger (1887~1961)

风流倜傥的薛定谔带着他众多情人里最神秘的一位（我们至今都不知道她是谁）前往阿尔卑斯山麓滑雪胜地阿罗萨（Arosa）。我们不知道薛定谔山中岁月的细节，我们只知道下山之后的薛定谔迎来了他的1926——奇迹年。

这一年1月、2月、3月、4月、5月、6月，马不停蹄的薛定谔连续发表6篇重量级论文。1月、2月、5月、6月的论文合称《作为本征值问题的量子化I II III IV》（Quantization as an Eigenvalue Problem I II III IV），3月发表的论文《从微观力学到宏观力学的连续过渡》（The Continuous Transition form Micro to Macro Mechanics），4月发表论文《论海森伯、玻恩、约尔当的量子力学和薛定谔量子力学的关系》（On the Relation between the Quantum Mechanics of Heisenberg, Born, and Jordan, and that of Schrödinger）。

公元1926，临近不惑之年的薛定谔潇洒地站在了物理学史的天平一端，向天平另一端的“哥本哈根男孩们”致以优雅的问候……除了物理学（还有那个“生物物理学”）外，老薛留给我们印象最深的要数他在德语古典诗歌与古希腊哲学方面的造诣，他老人家“不靠谱”的一生向我们表明：什么量子力学（波动、矩阵、路径积分......）都是扯淡，只有诗歌与哲学才是俘获美人芳心的“势阱”！！！

对理论物理学而言，一个新体系的确立是以核心方程的构建为标志的。从德布罗意的论文中接触到相位波概念的那一刻起，一个自然而然的疑问就困惑着薛定谔——德布罗意波的波动方程是什么？从这个疑问出发，薛定谔找到了自己的研究定位——给出德布罗意波的波动方程。经过那段讳莫如深的圣诞假期，思如泉涌的薛定谔轻松写下了那个梦寐以求的公式——

$i\frac{h}{2\pi }\frac{\partial }{\partial t}\Psi =\widehat{H}\Psi$

这就是统帅微观世界的薛定谔方程（Schrödinger’s equation），它的地位相当于经典力学的牛顿方程或电动力学中的麦克斯韦方程。

量子力学的第二种完备数学表述——

波动力学

Wave Mechanics

正式出笼。薛定谔本人以及哥本哈根的泡利、狄拉克、冯·诺依曼先后独立并逐步严谨地给出了矩阵力学和波动力学的数学等价性证明（以狄拉克的证明最为物理学家所接受而冯·诺依曼的证明则最为符合数学上的严谨）。

爱因斯坦深表满意，薛定谔的成功就是自己探寻光本质路线图的胜利，至少波动力学的出现终于把大家的注意力从那些古怪的数学矩阵上拉回到了更符合物理学经典传统的波函数（wave function）Ψ。

就连玻尔等哥本哈根的干将都开始对波函数投来青睐的目光，看来量子纪元的主导权似乎也要交到爱因斯坦手上了……

二、“严谨”有时候就是个传说

物理学的（数学）表述形式必须要严谨，但物理学的表述有时又没有我们想象的那么严谨，比如牛顿的“流数术”、拉普拉斯的“频率概型”、狄拉克的“ $\delta$ 函数”......伽利略之后的物理学家历来只顾“风雨兼程，勇往直前”，其他的事儿让数学家去操心吧。

那么数学家呢？——严谨过头，有时是一种“病”。

凡是讨论20世纪初的数学史（“逻辑主义”、“形式主义”与“直觉主义”的混战），免不了要对三大卷皇皇巨著《数学原理》（Principia mathematica，罗素、怀特海著）发表点看法，但有谁又真的会把大好青春浪费在这个“逻辑主义学派”的扛鼎之作呢？

你只要对《数学原理》的大部头有直接观感，就不难生出如此感慨：从皮亚诺、弗雷格到罗素，在“啰嗦”这一点上，没有最好，只有更好！——为什么不与惜字如金的维特根斯坦兄弟（从某种程度上讲，他可以算作是罗素的弟子）“中合”一下呢？

固然老罗在监狱里（好像是因为和平主义运动）给我们大家“攒”了一个“简化版”——《数理哲学导论》（ Introduction to Mathematical Philosophy）：元素、集合、集合集（类）......仍然免不了庞加莱老人家（一位标榜“约定论”的“直觉主义者”，世纪之交唯一可与希尔伯特分庭抗礼的宗师）的“揶揄”：没有人会花300页去定义一个“1”，这部书纯粹是写给从来不知道什么是“1”的人！

用一句政治正确的话来总结：实践是检验真理的唯一标准！——实践可以碾碎形而上（机械唯物主义？）的“玄想”！

三、我猜，我猜，我猜猜......

万有引力定律的数学形式最早就是“猜”出来的。在老牛之前，笛卡尔、惠更斯、哈雷再到可怜的胡克，已基本“猜”出了它的数学表达式，并能应用于天体运行的解算。今天，一个受过高中物理训练的人一般都可以从万有引力定律出发理解或大致推演出开普勒三定律（严格的推导还是需要高等数学）。这个构造顺序在数学上比较简单，如果颠倒这个构造顺序——从开普勒三定律推导万有引力定律，数学难度就“跃迁”了——老牛之所以“牛”，就“牛”在这个地方，因为他老人家有秘不外传的“流数术”。以“流数术”为武器，从开普勒三定律出发，结合“牛二”与轨道微分方程（比耐公式）就可以得出万有引力定律（物理系用的《理论力学》教材一般都有推导）。

让我们来猜猜薛定谔方程！

既然是“猜”，最好从最简单的地方切入。先看同频恒幅的经典（定态）光波函数（复振幅形式）：

$\widetilde{U}(P;t)=Ae^{i(k\cdot r-\varphi _{0})-i\omega t}$

U为复振幅（complex amplitude）；A为振幅；k为波矢（wave vector），注意它和动量的关系；r为场点P处位矢； $\omega$ 为相角速率，注意它和能量的关系（考虑普朗克量子假设 $E=h\omega /2\pi$ ）； $\varphi _{0}$ 为初相。

我们靠“猜”引入一个自由粒子的波函数——不要问我怎么“猜”，麦克斯韦津津乐道的“物理类比”、凯库勒做的“梦”、摩西在西奈山顶受的“神谕”......God knows!我只能说：直觉，男人的直觉！

$\Psi\left ( r;t \right )=\Psi _{0}e^{\frac{2\pi i}{h}(p\cdot r-Et)}$

现在我们需要一个构造方程的“框架”——能量守恒（或机械能守恒）：对保守场中的自由粒子，其哈密顿量函数（Hamiltonian，H）表示粒子总能量(动能与势能之和)，H=T+V。

在非相对论情况下，粒子动能与动量p有

$T=\frac{1}{2}mv^{2}=\frac{p^{2}}{2m}$

为了表示粒子动能，我们要从波函数中提取动量的信息。熟悉拉普拉斯变换的朋友，可以立刻想到波函数对空间坐标或位矢取二阶偏导数（拉普拉斯算子）：

$\bigtriangledown ^{2}\Psi =-\frac{4\pi ^{2}p^{2}}{h^{2}}\Psi$

所以

$T=-\frac{h^{2}\triangledown ^{2}\Psi }{8\pi ^{2}m\Psi }$

同样的思路，为了表示粒子总能量（哈密顿函数），需要从波函数提取能量的信息，即波函数对时间取一阶偏导数：

$i\frac{h}{2\pi }\frac{\partial }{\partial t}\Psi =E\Psi$

综合动能与总能量的表达式代入H=T+V，整理得：

其中ћ=h/(2π)，为约化普朗克常量。这就是保守场中粒子的非相对论性薛定谔方程。

  至于老薛到底怎么构造薛定谔方程，请参阅他本人著作文献（北大出版过《薛定谔演讲录》）。阅读时请注意老薛的流体力学和经典统计力学的治学背景(德语古典诗歌、古希腊哲学乃至那些“女朋友”有没有帮助？——呃，God knows!)，这有助于理解他的思路......