两则有趣的科学史：岁星纪年与招差术

按：上篇博文《天体轨道是量子化的吗？》介绍了天文学中著名的提丢斯—波得定则以及束星北对其的修订。近世以来针对提丢斯—波得定则的物理意义以及“公度法”的价值，学界一直存在较大争议。俺无意（也没有能力）介入争论，唯以趣味为取舍——凡前人之法，不必因袭，不必贬斥，以史料审之，或可有所得，庶几近道矣。

一、岁星纪年与干支纪年

木星在中国古代被称为岁星，因为当时人们观测到木星在天球运行一周的时间为12年，刚好和十二地支吻合。

中国古代把黄道附近周天自西向东分为十二分，称为十二次，木星每年行经一次，用木星（岁星）所在星次来纪年的方法就称为岁星纪年法。这种方法在春秋战国时期很盛行，它可以避免各诸侯国君王年号纪年法带来的混乱。先秦史书《左传》（全称《春秋左氏传》）、《国语》中“岁在星纪”、“岁在析木”等记录就是岁星纪年的例子。

除了十二次以外，古人又把周天自东向西分为十二辰，与十二地支相配，分别为子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥。与岁星十二次相反，古人假想一个天体按十二辰自东向西运行，也是十二年一个周天。这个假想的天体，就是中国人常说的“太岁”（也叫岁阴）。根据《尔雅·释天》的记载，十二次和十二辰都有相应的专名，它们与地支、黄道十二星座的对应关系见下表：

类似地，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十天干在岁星纪年法也有相应的专名：阏逢、旃蒙、柔兆、强圉、著雍 、屠维、上章、重光、玄黓、昭阳。比如屈原的楚辞名篇《离骚》中有一句：

摄提贞于孟陬兮，惟庚寅吾以降。

“摄提”就是“摄提格”，即“太岁在寅”，“孟陬”指农历正月，整句话合起来的意思就是：太岁星正好位于（“贞于”）摄提格的正月，我（即屈原）在庚寅年出生。换算为现行公历，屈原出生的年份即公元前343年农历正月（此处据推算方法不同有争议）。

  由于在长时间使用过程中存在明显误差，东汉时废止了岁星（太岁）纪年法，而干支纪年法保留沿用，直到今天仍然出现在一些传统文化活动中。比如东晋大书法家王羲之的散文名篇《兰亭集序》中首句：

永和九年，岁在癸丑……

“永和九年”（即公元343年，“永和”为东晋穆帝司马聃年号）就是帝王年号纪年，“岁在癸丑”就是干支纪年，而这个表述方法还保留了先秦岁星纪年法的影子。

二、招差术

   古人在长期观测中注意到天体运行轨道速率与加速度变化产生的视运动变化，在天文历算（主要是编订历法）过程中引入了内插法。

   东汉时，刘洪编订《乾象历》引入一次内插。隋朝刘焯编订《皇极历》引入二次内插。唐代僧一行（俗名张遂）编订《大衍历》时，修正了刘焯的方法。元代郭守敬、王恂在编订《授时历》过程中引入了三次内插，辅以差分表计算，并将此法命名为“招差”（南宋秦九韶称之为“招法”），即“招差术”之由来。

    元朝的朱世杰在《四元玉鉴》中，讨论了更一般情况下的“招差”。比如《四元玉鉴》中“如象招差”第五问及其解答：

今有官司依立方招兵，初招方面三尺，次招方面转多一尺，得数为兵，今招一十五方，每人日支钱二百五十文，问兵及支钱各几何。或问还原：依立方招兵，初招方面三尺，次招方面转多一尺，得数为兵。今招一十五日，每人日支钱二百五十文，问招兵及支钱几何？

答曰：兵二万三千四百人，钱二万三千四百六十二贯。
术曰求得上差二十七，二差三十七，三差二十四，下差六
求兵者，今招为上积，又今招减一为茭草底子积为二积，又今招减二为三角底子积，又今招减三为三角一积为下积。以各差乘各积，四位并之，即招兵数也。

用一个表来说明：

这就是朱世杰四次招差法，类似地还可以推演到其余高次招差（关键是确定下差）。朱世杰本人在研究这个方法时借鉴了沈括在《梦溪笔谈》中介绍的“垛积术”或“隙积术”（请注意朱世杰解答的表述，“积”这个观念就来自“垛积术”）——这是另一个问题，以后有空再说。

  我们现在使用的内插法或插值法是牛顿发展起来的。它在物理学上一个极其著名的应用便是普朗克在探究黑体辐射时，“黏合”高频短波段的维恩公式与低频长波段的瑞利—金斯公式，得到普朗克公式。这个纯粹“唯相”套路刚亮相时，并不被大家认可——逼得普朗克最后提出了惊世骇俗的“量子”假设来“救场”——没想到这一“救”，便开启了一个全新的时代......

   只可惜，作为一个“不情愿的革命者”，保守的普朗克自此开始“退缩”——他几乎用余生来反对“量子”......

主要参考文献：

[1]中国大百科全书·天文学，北京：中国大百科全书出版社，1980.

[2]李文林，数学史教程，北京：高等教育出版社，2000.