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秘密就在回声中 ---- 反问题在石油勘探中的应用(2)
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1910年，丹麦物理学家Lorentz在哥廷根作了系列讲演----“物理学中的新、旧问题”。其中提到了一个有趣的问题：不用眼睛来看，仅仅通过聆听鼓的声音能否判断出鼓的形状？即所谓的“盲人听鼓”问题。它的背景来自于射线理论。
我们知道，当物体的材料确定后，它的音色和其形状密切相关。在数学上，一个物体的音色可以由一串谱
来确定，它们对应着物体的固有频率。“盲人听鼓”即是要求通过已知的谱来确定一个鼓面的形状。
来确定，它们对应着物体的固有频率。“盲人听鼓”即是要求通过已知的谱来确定一个鼓面的形状。Lorentz在他的讲演中猜测鼓的面积A可以由小于
的谱数
求极限确定
的谱数求极限确定
据说，当初Hilbert（希尔伯特）认为在他的有生之年不可能看到这个公式的严格证明。但是一代宗师Hilbert这次作出了错误的预测。不到两年时间，鼓面积的公式就被他的得意门生Weyl证明了。而且证明方法采用的正是Hilbert此前不久修炼出的独门绝技----积分理论。1954年， Pleijel证明了从鼓声中可以“听”出鼓的周长。1967年，McKean和Singer证明了从鼓声中可以“听”出鼓的内部是否有洞、有几个洞。直到1992年，Gordon等人构造出了两面奇怪的“同声鼓”（图2）：它们的形状不同，却有着相同的音色，单凭耳朵无法鉴别！
图2. 左图：能否以耳代目，“听出”鼓的形状？右图：1992年，数学家Gordon, Webb和Wolpert找到了两面“同声鼓”。
所以严格说来， “盲人听鼓”问题的答案是否定的。但是，对这个问题的研究启发了我们。当不能用眼睛直接观测时，以耳代目也能够获得关于物体形状的很多有用信息。举一个生活中的例子，夏天人们挑西瓜，总是把瓜放在耳边，用手拍一拍，有经验的人就知道瓜瓤熟不熟。深海区的石油探测就是应用了类似的原理。勘探地球物理学家希望能够叩问地球，用耳朵“听”出地下的地质构造，从而判断出油藏的准确位置和产量。
图3. 海上人工地震数据的采集。
图3是海上石油勘探方法的示意图：数据采集船上带有气枪。当压缩空气被突然释放时，气枪会产生剧烈的爆炸声波。声波向地下传播，遇到构造变化会产生反射、散射和折射。这些回声中携带了地下的地质信息，被海面采集船拖带的检波器接收，记录为地震数据。海底宝藏的秘密就隐藏在这些数据里。
这是一个什么样的数学问题呢？
我们脚下的地球可以用3维坐标
来标定，其中
表示海平面下的深度。气枪的在海面的某个位置
爆破，产生的声波按照速度
在地下传播，满足波动方程
来标定，其中表示海平面下的深度。气枪的在海面的某个位置爆破，产生的声波按照速度在地下传播，满足波动方程
在海面的
处，检波器接收到了气枪产生的回声数据
。我们勘探的目的是要从采集到的地震数据
中猜出代表地质构造的函数。
处，检波器接收到了气枪产生的回声数据。我们勘探的目的是要从采集到的地震数据中猜出代表地质构造的函数。举一个最简单的例子，假设深度为
米的地方有一个水平层，声波传播速度是
米/秒。如果把气枪和检波器放在海面的
处，气枪发射后经过时间
秒我们听到回声，那么很容易知道
米的地方有一个水平层，声波传播速度是米/秒。如果把气枪和检波器放在海面的处，气枪发射后经过时间秒我们听到回声，那么很容易知道
上面的公式里有两个未知数，
和
，是不可解的。如果我们再做一次实验，将气枪和检波器分别放在
和
处（图4），这时听到回声的时间延长至
秒，而且回声来自同一个地下反射点。根据勾股定理
和，是不可解的。如果我们再做一次实验，将气枪和检波器分别放在和处（图4），这时听到回声的时间延长至秒，而且回声来自同一个地下反射点。根据勾股定理
通过两次实验，我们就可以联立上面的两个方程，同时求出声波速度和反射界面深度。
图4：常速度、水平层模型可以通过两次实验来确定声波速度和反射层深度。
真正的地下介质不可能是常速度，地质构造也不可能都是水平层。深海石油勘探需要揭示的是深埋地下，历经沧海桑田的复杂地貌，其困难程度可想而知。我们注意到，地下的速度函数是一个3维数据体，而我们接收到的地震数据却是5维的，信息中有2维的冗余度。这说明我们对地下的每个反射点做了很多次的声波反射实验，而这些5维的实验结果都来自同一个3维模型函数。这样就可以通过数据的多次覆盖来提高对于地下构造判断的准确度。这个思路奠定了勘探数据处理的基础。经过数十年的摸索，地球物理学家找到了一些行之有效的解法。现行的勘探技术主要分为三步：
是一个3维数据体，而我们接收到的地震数据却是5维的，信息中有2维的冗余度。这说明我们对地下的每个反射点做了很多次的声波反射实验，而这些5维的实验结果都来自同一个3维模型函数。这样就可以通过数据的多次覆盖来提高对于地下构造判断的准确度。这个思路奠定了勘探数据处理的基础。经过数十年的摸索，地球物理学家找到了一些行之有效的解法。现行的勘探技术主要分为三步：1. 数据处理：海上采集到的数据有很多噪音干扰，比如海浪、背景噪声、相邻采集船传来的气枪回声，等等。另外，潮汐现象周期性地改变海水的深度，造成反射时间的偏差错落；气枪的震源效应和海面多次反射的混声也会引起反射信号的畸变。所以我们要对数据进行“整容”，使之更清晰、更干净、更可信。
2. 速度建模：利用多次覆盖的试验数据来构建一个统一的地下模型。由于反射波的传播时间对速度的短周期变化不敏感，一步到位求解太困难。退而求其次，我们可以利用数据中的冗余信息构造一个粗眉大眼的近似速度
。这如同绘画，先勾勒轮廓，敷设底色，留待下一步皴擦点染，刻画雕琢。
太困难。退而求其次，我们可以利用数据中的冗余信息构造一个粗眉大眼的近似速度。这如同绘画，先勾勒轮廓，敷设底色，留待下一步皴擦点染，刻画雕琢。3. 偏移成像：从实践中，人们认识到在现有的方法和条件下，完全求出几乎是不可能的。必须采取更务实的态度，对做构造成像。也就是说只需要对速度函数的间断性变化进行比较精确地描绘，就可以提供给地质解释专家很多重要的石油埋藏线索。我们借助高性能计算机的帮助，将地震数据
和初始模型
综合起来进行处理，利用波动方程来推演各种反射信号的来龙去脉，输出的图像就显露出了地下山水的峥嵘面貌。
几乎是不可能的。必须采取更务实的态度，对做构造成像。也就是说只需要对速度函数的间断性变化进行比较精确地描绘，就可以提供给地质解释专家很多重要的石油埋藏线索。我们借助高性能计算机的帮助，将地震数据和初始模型综合起来进行处理，利用波动方程来推演各种反射信号的来龙去脉，输出的图像就显露出了地下山水的峥嵘面貌。https://blog.sciencenet.cn/blog-216990-378187.html
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