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[转载]对文兰悖论的消解

已有 837 次阅读 2021-10-1 20:11 |个人分类:数学研究|系统分类:观点评述|文章来源:转载

说明:因杨六省老师之邀,先后将其《对初中数学教科书关于√2不是有理数证明的质疑》、《又一新的证据再次表明——毕达哥拉斯学派关于√2不是有理数证明是无效的》、《人教社中学数学编辑室的回复缺乏说服力》、《杨六省:质疑文兰先生关于√2不是有理数的证明》、《对毕达哥拉斯学派关于√2不是有理数证明的6点质疑、《数学界现代版指鹿为马——‘√2= p/q(p,q互质)’是‘√2不是有理数’的反论题?》、《在毕达哥拉斯学派关于√2不是有理数的证明中隐藏着一个“复杂问语”的谬误》、《√2不是有理数的两个广为流传的无效证明》以及《通过举反例加深对反证法两个要点的准确理解等相关质疑论述进行了转载,分别已经有数百或者数千人次的点击量。2021年9月29日杨六省老师又寄来新作——《对文兰悖论的消解》,邀请转载,因我本人对数学一窍不通,仅仅出于帮助开展学术讨论,明辨是非,弄清正误之目的,再次将其转载于下,敬请数学行家进行评议,也可以直接与杨六省老师联系进行讨论。

对文兰悖论的消解

杨六省

Yangls728@163.com

文兰先生提出了一个新的悖论,叫做三卡悖论。但是,用三张卡片构造悖论的形式很多,例如,“三位哲人谁在说谎?”也可以叫做三卡悖论。为了区别起见,笔者把文兰先生提出的三卡悖论称作文兰悖论。下面我们就来介绍这个悖论。

    有三张卡片,它们上面分别写有如下内容:

          第二张卡片的句子为真,且第三张卡片的句子为假

          第一张卡片的句子为假,或第三张卡片的句子为真

                第一张和第二张卡片的句子都为真       

    设第一张卡片的句子为真。由其所述,第二张卡片的句子为真,且第三张卡片的句子为假。这样一来,第三张卡片的句子之所述就被肯定了,因而第三张的句子为真,与已经证明了的第三张卡片的句子为假的事实矛盾。这一矛盾证明,第一张卡片的句子必为假。

于是,第二张卡片的句子之所述就被肯定了,因而第二张卡片的句子为真。又,第三张卡片的句子之所述就被否定了,因而第三张卡片的句子为假。但这样一来,第一张卡片的句子之所述就被肯定了,因而第一张卡片的句子为真,与已经证明了的第一张卡片的句子为假的事实矛盾。至此已穷尽所有可能而处处遇到矛盾。文兰.悖论的消解(第一版),科学出版社,2018:17

我们先来看文兰先生是如何给悖论下定义的。他说:“在推理须符合逻辑规则的约定下,我们提出一个不同的定义:悖论是推出矛盾但原因不明的推理。”(同上书:第1页)

笔者对上述悖论定义的质疑是,既然我们不明了悖论发生的原因是什么,又如何去消解它呢?犹如医生不明病因,又如何去治病呢?所以,文兰先生的书名《悖论的消解》与他所给出的悖论定义是自相矛盾的。事实上,消解悖论难道不就是要找出悖论发生的原因,从而否决这种原因吗?

笔者并不认为,文兰悖论是被文兰先生发现的,确切的说法应该是,它是由文兰先生设计的。事实上,文兰先生在其书中第19页就写道——“在制作这个‘三卡悖论’时”如何如何。

我们先来介绍布里丹的第九个诡辩——柏拉图-苏格拉底对话悖论(俗称双卡悖论)。

这个悖论的条件由柏拉图的话“苏格拉底说的是对的”和苏格拉底的回答“柏拉图说的是错的”组成。如果柏拉图的陈述是对的,那么该陈述就是错的。如果柏拉图的陈述是错的,那么苏格拉底的陈述也是错的——苏格拉底陈述的意思终究是在说,柏拉图的陈述是对的。

关于这个悖论,笔者在《悖论是什么——70个悖论的消解》一书中评论道:“柏拉图的陈述与苏格拉底的回答是不相容的,即所给条件是相互矛盾的。如果柏拉图的陈述是对的,这时应用苏格拉底的回答,就是在应用不相容的条件,这不是有效推理。所以,所谓从柏拉图的陈述是对的推出了该陈述是错的,这样的推理是无效的。如果柏拉图的陈述是错的,由其说过的话,能推出苏格拉底的回答是错的,这一步推理没有应用不相容的条件,所以是有效推理;然而,再应用苏的回答,就是应用了不相容的条件,故这一步推理就是无效的。所以,由柏拉图陈述是错的又推出该陈述是对的,也是无效推理。

上述评论揭示,双卡悖论中的推理是无效的,这就是该悖论产生的原因。原因找到了,对这种原因(无效推理)进行否决,即不认可这种无效的推理,这就是对双卡悖论的消解。

下面我们来看三张卡片之间的关系。

假设第一张卡片的句子为真,说明其中的两句都真。第二张卡片中的前一句与第一张卡片的句子为真的假设相矛盾,故为假。第二张卡片中的后一句与第一张卡片中的后一句相矛盾,故同样为假。这说明,假设第一张卡片的句子为真,则第二张卡片的句子为假

假设第一张卡片的句子为假,只需其中的任何一句为假。假设第一张卡片中的前一句为假,说明第二张卡片中的前一句为真,于是,第二张卡片的句子为真。假设第一张卡片中的后一句为假,说明第二张卡片中的后一句为真,于是,第二张卡片的句子为真。

综上所述,第一张卡片的句子与第二张卡片的句子是一真一假,故第三张卡片的句子必为假。于是,前两张卡片的真假就都只取决于各自的前一句的真假。这样说来,前两张卡片就是被镶入三卡悖论中的一个双卡悖论,很是有趣!

下面我们来揭示,文兰悖论的发生原因是什么。

需要特别提醒的一点是,不要忘记上面已经得出的结论,即前两张卡片实际上是双卡悖论的一个变体。因此,任何一张卡片中的前一句都是在说反话,都是在做自我否定,就像说谎者语句一样,这是双卡悖论的题设条件(注:笔者关于说谎者悖论的消解,可参见笔者的《悖论是什么》一书,或《前沿科学》2014年第1期中笔者文章)。

假设第一张卡片的句子为真。依据第一张卡片中的前一句,推理中用了“由其所述,第二张卡片的句子为真”这一表述,从而认可第二张卡片的句子为真,这种做法是违反双卡悖论中“所述必反说”原则的。因此,由假设第一张卡片的句子为真是推不出第一张卡片的句子为假的。

假设第一张卡片的句子为假。依据双卡悖论中“所述必反说”原则,第二张卡片中的前一句就应该是第一张卡片的句子为真,但推理中没有这样做,这是违反双卡悖论中“所述必反说”原则的。因此,由假设第一张卡片的句子为假是推不出第一张卡片的句子为真的。

综上所述,违反双卡悖论的题设条件(所述必反说)是文兰悖论产生的原因。据此,我们有理由不认可该悖论中的推理,这样,文兰悖论就得以消解了。

文兰悖论的构思很是有趣,三卡悖论中还隐含着一个双卡悖论(这一点倒不能理解,想必文兰先生是以双卡悖论做基础构思三卡悖论的,但问题是,在添加新项后,如何能使这个基础得以保持,这就需要技巧了)。同时,这个悖论的推理似真性强,消解有难度,笔者很是欣赏(注:笔者的《悖论是什么——70个悖论的消解》一书,以后再版时,一定会把文兰悖论加上)。笔者也相信,这个悖论能够得以流传。

正像笔者会赞赏一个魔术,但这只是表明笔者对其表演“逼真性”的认可,而不是说,笔者真的就相信点石可以成金之类的事。美国著名科普专家马丁把悖论比作“有点像魔术中的变戏法”,笔者对此很是赞同,因为马丁看到了问题的本质,悖论与魔术一样,其表演(推理)是假的。悖论是什么?笔者的回答是——悖论是无效推理的产物,形象地说就是,悖论是披着羊皮的狼。这里的羊皮是指有效推理,也就是说,有效推理只是一种假象;狼是指由无效推理所推出的A¬A及与客观事实相矛盾的结论。

国内学界普遍认为,悖论定义中所涉及的由A¬A的推理是有效推理。但是,有效推理是指前提蕴涵着结论的推理,这就是说,由上述观点会推出A可以蕴涵¬A,但这显然是荒谬的,因此,上述主流观点是站不住脚的。

既然A不可能蕴涵非A,所以,任何悖论中的A到非A的推理都不可能是有效推理,这正是任何悖论发生的原因。据此我们说,消解悖论就是揭示导致悖论发生的推理的无效性。

也许有人会问,前提虚假是不是导致悖论发生的原因?笔者的回答是,否。《哥德尔证明》一书的作者说:“纯数学家所面临的问题,不是所假定的前提或从这些前提演绎出的结论是否为真,而是这些结论在事实上是否为初始前提的必然逻辑结果。”

还可能有人会问,所给条件不相容(例如,双卡悖论),是不是一定会导致悖论的发生?笔者的回答仍然是“否”。正像中药铺会备有不同种类的反药,但只要开药方的医生不违反中医用药十八反十九畏,按方抓药,就不会死人。



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