|||
N个正态峰的概率分布函数的公式
张学文,2015/4/1
我们知道正态的概率分布是个单峰分布函数。现在问是否有多峰的正态分布函数?
记得李小文院士提过类似问题http://blog.sciencenet.cn/blog-2984-704547.html ,我们在分析温度等问题时也遇到这个问题,http://blog.sciencenet.cn/blog-2024-869514.html http://blog.sciencenet.cn/blog-2024-879070.html
现在我分析:有,N个正态峰的概率分布函数的公式
一般认为某地某季的温度的平均值是固定的,其不同温度的出现概率应当与正态分布函数差不多。鉴于不同季节的气温显然其平均值不相同。所以我们可以对不同季节获得不同的平均值的不同的正态分布。
现在放下气象特例,而分析随机变量x一种大样本的频率分布,它的理论设想(定义)是它应当有N个正态的峰值。现在探索这具有N个峰的正态分布的通式是什么。
鉴于单峰的状态分布公式是:
f(x)=(1/((2π)^0.5)*σ)exp-((x-a)^2/(2*σ^2))
于是N个平均值。标准差值不同的正态分布公式应当是
f(x)= ∑(ki/((2π)^0.5)*σi)exp-((x-ai)^2/(2*σi^2))
以上求和是针对i的。这里每个i对应一个独立的平均值ai、标准差σi,以及它的概率峰位置,而各个ki是一个系数,并且它们的合计值=1.
显然以上函数对自变量x的积分=1.所以它符合概率密度函数的自然要求。
下面是几个多峰的状态分布的个例的曲线,它们都是根据这个公式计算出来的。它们的标准差都=1(可以变成不同)。
所以结论是正态分布在样本中平均值(以及标准差)存在多个值时,就可以存在多峰的正态分布。而气象学中的温度、压力、相对湿度都可以是它们的例子。
遗憾这个分析无法告诉李院士了。
而当两个峰值(平均值)很接近时,就成为胖正态分布,在平均值比较接近时,又可以是类似均匀分布。
Archiver|手机版|科学网 ( 京ICP备07017567号-12 )
GMT+8, 2024-9-21 08:52
Powered by ScienceNet.cn
Copyright © 2007- 中国科学报社