用转移矩阵做预告.1--《气象随机场-17》

张学文，2014,8.8-9

我们前面指出了利用两个临近的时刻的气象场数据可以求得转移矩阵,以及利用这个时刻的分布函数(来自某气象变量的气象场数据)和转移矩阵去计算出下一个临近时刻(一个时间步长)的对应的分布函数。即转移矩阵可以作一个时间步长的分布函数的预告，（见第15讲，http://blog.sciencenet.cn/blog-2024-815817.html ）。

沿着这个思路，如果用预报出来的分布函数再与转移矩阵做乘法，我们就获得了下一个时间步长的分布函数。即只要我们有目前的分布函数和转移矩阵，并且做M次运算（相当于两个矩阵的乘法）就获得了M个时间步长以后关于该气象变量的该气象场的分布函数。

简单地说，这里无形中提供了一个做M个时间步长以后的气象状态的技术思路。这岂不是气象场预告技术的新方法？

我们的回答是：是的。这确实可以通过不断地进行矩阵乘法而获得下个时刻的气象场的分布函数。但是我们也要明白

1.      这样做气象场的分布函数预报无形中利用了一个假设，即该气象变量（如温度、气压…）在该气象场（如中国、北半球等）的分布函数的转移矩阵本身具有很好的稳定性（不随时间而变化）。这是真的吗？

2.      随着矩阵乘法计算的次数的增加，原始数据中的误差会引起多大的效应，它也会逐步积累而在时间步长太长时，使得预报的分布函数面貌全非？

3.      这本预报方法预报的仅是气象变量在本气象场(空间)中的分布函数,而不是这个场里面的每个地点(元面积/元体积/元质量)的气象变量的值。即它是一种统计的预报，不能准确到点。

关于第一个问题我们目前不多说，本讲我们暂且认为转移矩阵是稳定的。关于第二个问题，人们会担心它是否会像所谓蝴蝶效应那样，初始的状况的微小差别，而导致预告的分布函数与气象实践完全是两回事？我们现在就指出一些转移矩阵的一个重要特征是随着时间的拉长，它预报的分布函数不仅不是离谱的，而且是稳定的。但是它的稳定得过分：预报的分布函数与前一个时刻的分布函数完全一样！而第三个问题提示我们这个预告是不完备、信息量不够的（可它确实提供了关于未来的信息）。

这里给一个例子。它是指某个比较大的区域（如中国这个气象场）的天空状况（离散化了的气象变量）的转移矩阵。其中天空状况被离散化为5个可分辨状态：晴、阴、小雨、中雨、暴雨。而我们取的两个邻近时刻是如此的短（例如是10分钟），以致当地的天空状况只能从一个状态向其邻近状态转移或者依然维持原状态。下面是该区域（气象场）气象状况的转移矩阵，即气象场内的各个元面积的各个天空状态经过10分钟以后维持、转变为邻近的天气状态的百分比（概率）。

一如以前那样，这个表的左侧是前一个时刻的各个天空状况，而表的上面是随后的时刻的各个天空状况。表的当中部分是一个矩阵。它的各个元素值给出前一个时刻是各种天空状态时，其下一个时刻转变为各种天空状态的面积元（或者理解为空气微团）的相对数量。它对应于气象状态的转移概率。而这种转移概率依赖于最邻近时刻的状态，所以它对应概率论中的条件概率。

现在我们要做的事就是给出一个初始状态的分布函数，即给出初始时各种天空状态最初在整个气象场中占的百分比。例如我们假设最初的情况是全部气象场内的各个地点的天空状况都是阴天。它对应下面的表。

这个表给出离散化的天空状态在本气象场内的分布函数的值，气象场内处于这种状态的空气微团占的百分比，或者说占有的相对面积，或者说随机抽样时，各个状态的出现概率。而目前的分布函数的特点是本气象场的各个地方（元面积）的天空状态都是阴天。这个表的分布函数的5个值对应一个矢量，其取值是：0，1，0，0，0。

依据前面的讨论给出的计算公式，我们把这个矢量与前面的转移矩阵做乘法，就获得下一个时刻的分布函数，计算结果是晴天占2%的气象场的面积，阴天占97%，小雨占1%。这是经过1个时间步长（M=1）的状态转移的结果。即从单一的阴天变成了有晴天、阴天和小雨的三种天空状态。

而下面的表则概括了天空的原始状态（M=0），一步转移（M=1）时的状态，以及随后反复做矩阵乘法而获得的一部分时刻的分布函数的结果。表中右侧的M值表示我们做的矩阵乘法的次数。可以看到随着预告时间的逐步拉长，各种天空状态都占有一定的比例，而随着时间的拉长不同天空状态在气象场中占有的相对面积则越来越稳定。分析表明当转移了500次时，各个天空状态占的百分比的前4位有效数字基本上不再变化了。

用前面的转移矩阵和初始天空状态分布计算随后M个步长以后的各种天空状态在气象场中占有的百分比(占有的相对面积)

如果我们认为这里的一个时间步长是10分钟，那么M=100，就是1000分钟就接近17个小时。我们在表中的M=100的哪个行里看到晴天大约占了总面积47%，而阴、雨、中雨、暴雨分别大约占了37%、13%、2.5%和千分之3。

而表中给出的更长时间的各种天空状态占有的相对面积几乎是稳定的（预报不能指出具体的暴雨位置，而仅给出该状态占的百分比）。

显然我们给出的如上的预报思路和技术具有新鲜、可以外推、合理等特点。

好了，理解这个思路、计算步骤和计算结果的含义也就完成了本讲的任务。其他的话后面再说。