状态转移矩阵初议-《气象随机场的分布函数及其转移矩阵-15》

张学文，2014,7,26-30

      本讲初步讨论关于各种气象随机场的转移矩阵的一些认识

1.        从气象场资料获得气象随机场的转移矩阵

上一讲实际上我们已经介绍了，只要你把分析的气象变量（如温度，压力，等等）的取值范围适当地离散化为有限个（k个）相格，并且有两个相近时刻的统一的气象场的气象变量的数据（如两张时间差1小时的中国区域的温度分布图），就可以经过统计分析而获得这个变量的气象场的状态变化的转移矩阵（k×k方阵）。气象工作者拥有的此类数据太多了,这是个新的统计气象分析园地。

2.        全球大气压力的转移矩阵的例子

下面给的是一个理想的例子（它与实际有多少差别请大家核定），它分析的气象变量是大气压力，分析的范围是全球大气从地面到大气上界这个立体的气象场。假设我们具有24小时间隔的两个全球大气压力的数据（即这个空间内的每一质量相等的空气微团的压力,实际上经常有的资料是各个经纬度格点），并且把这些大气压力数据仅粗线条地分为10个相格（可分辨状态）。这样我们就有了（从资料中统计分析出）下面的全球大气压力转移矩阵。

全球大气压力的24小时的变化，即空气微团从初始气压值变成（24小时）各种状态（气压值，相格）的比率（等价于概率、百分比）表。

（注：表的上方用了下面的字样：一天以后该位置处的空气微团的气压状态，即我们所谓的空气微团的压力的变化，其实是指该几何位置的空气微团气压的24小时的变化，这对应流体力学中所谓的局地变化，而不是空气微团个体的变化。它并不跟踪24小时前的空气微团的现在状态。我们后面的全部计算都是这样，这在统计上是可操作。如果跟踪原始的空气微团在技术上几乎是不可能的）

      这个假想的表是把全球（包括地面到高空）各处的空气微团的两天的气压值作为统计原始对象而统计出来的。它给出空气微团从表的左侧的气压值范围（相格）在24小时以后转变为表的上方给的气压状态占空气微团数量的比率。例如它说明一个空气微团如果第一天的压力是530百帕，那么24小时以后它依然是在原状态（压力在500-600百帕这个相格内）的比例很高，达到了99%，而仅有1%的机会转变到相邻的气压区间（相格）。

   这个全球大气压力的转移矩阵显然还告诉我们在24小时内任何空气微团的气压变化大于200百帕（两个相格）的情况是不存在的。于是转移矩阵的多数的元素的值是零。

3.     用转移矩阵可以计算下一个时刻的分布函数

我们前面强调转移矩阵是通过两个相邻的时刻的气象场做一番对应的统计而获得的。如果我们认可它就是两个时刻的分布函数的变化规律（这个话隐含了它在各个时刻都是对的），这也就提示可以利用它从现在的分布函数计算下一个时刻的分布函数。

试想现在有20000个空气微团（空气质量单元）的气压在500-600百帕之间。那么下一个时刻这些空气微团依然是在500-600百帕的数量应当根据转移矩阵中的对应值0.99乘以20000，它应当是19800.并且依然根据转移矩阵表有100个空气微团（0.005*20000=100）转入了600-700百帕相格，还有100个原先是500-600百帕数据点则转入了400-500百帕的相格中。而转入其他相格的空气微团（数据点）是没有的。

显然当我们知道了现在的气象场中处于各个相格的空气微团数量以及变量状态的转移矩阵以后，我们就可以计算出下一时刻的空气微团在各个相格中的数量，或者说这就获得了下一个时刻的气象场中该变量的分布函数。

以上的计算过程也许可以简练地用如下公式表达

F₁M=F₂

这里的M是前面介绍的转移矩阵。而F₁、F₂分别表示两个矢量，它们代表离散化的分布函数的各个离散值。前面已经指出我们对于本来应当用连续变量（实数）表示气象变量一事采取了离散化的处理，并且值离散值是有限个。在这种情况下，它的分布函数值也就就是有限个离散值。基于此，我们也可以把离散状态的分布函数的各个值统一看作是一个矢量的对应分量。

这样我们就在离散化、用矢量表达离散化的分布函数值、存在转移矩阵的背景下，把对下一个时刻的分布函数的求算，变成了把现在的分布函数矢量与转移矩阵的乘法计算。

4.     各种气象场的状态转移矩阵是否具有时间稳定性是重要问题

根据前面的初步分析如果我们在时刻都在变化的天气中找到了关于某变量的气象场的分布函数的转移矩阵变量具有稳定性，它就可以用于分布函数的预报。所以转移矩阵的稳定性是个重要问题。

另外，转移矩阵的概念清楚，也没有人说它不能从理论角度可以通过推导而获得理论结果。所以从理论上探索转移矩阵及其稳定性也是一个环节。

5.     把气象变化问题变成一个转移矩阵有利于相关知识的引入

科学地提出问题有时解决问题更重要，我们把气象场的分布函数的变化问题具体化为对一种特定的矩阵的讨论。这就为引入线性代数、随机过程理论等等理论提供了技术桥梁。后面我们要逐步利用这些思维工具，讨论气象场的变化问题。