水分循环有马尔科夫性质?！(6)-水分状态的一步转移公式

张学文，2013.12.26-28

1.       我试图把马尔科夫过程知识与地球的水分循环联系到一起。但是，鉴于本人对马尔科夫过程的认识不足，以及如何把它们联系起来都存在概念的把握与计算的技巧等问题。所以下面这些内容欢迎各位多指正。另外如果引用这里的认识，也请注明出处。

2.       下面要根据马尔科夫随机过程的下一个状态是什么(或者说出现各个状态的概率)仅与当前的状态有关的思路,推求在“一步”的状态转移中不同状态的水体的数量的变化的一般公式。

3.      设以M表示水体的数量，而M_a ,M_l, M_o分别表示空中水、陆地水、海洋水的数量（即前面介绍的存在量或者是存在量的相对值）。考虑经过一个时间步长的水分循环，M_a , M_l, M_o中的水体总有一定的比例转变为另外的水体。而其转换的比率就对应前面的表2（见http://blog.sciencenet.cn/blog-2024-752216.html ）各个系数的具体数值。于是，时间t=2时的空中水M_a(2)来自时间t=1时的空中水M_a(1)、陆地水M_l(1)和海洋水M_o(1)这三个方面的贡献（转移量），而应当有

M_a(2)= M_a(1) C_aa +M_l(1)C_la+M_o(1) C_oa （4）

4.       公式（4）中的t=2时刻的空中水的数量来自t=1时刻的空中水、陆地水和海洋水,并且也按照对应比率系数去转化。而这种转化仅与时刻t=1，即最近的时刻的水体存在数量有关。这体现了水分循环具有马尔科夫性质，也使我们的计算公式简化为仅与最邻近的状态有关。

5.       另外，我们这样建立了公式（4），也意味着不同水体的转化矩阵中的各个系数（对应与转化概率）不是时间的函数（具有气候稳定性）。

6.       公式（4）显然可以推广为任何时刻t与其前一个时刻t-1的状态的关系，于是我们获得了关于空中水一步转移的通用公式：

M_a(t)= M_a(t-1) C_aa +M_l(t-1)C_la+M_o(t-1) C_oa  (5)

7.       以上推求空中水一步转移的公式，显然也可以用于陆地水和海洋水的下一步的时刻的数量上，于是有

M_l(t)= M_a(t-1) C_al+M_l(t-1) C_ll+M_o(t-1) C_ol  (6)

M_o(t)= M_a(t-1) C_ao +M_l(t-1)C_lo+M_o(t-1) C_oo  (7)

8.       公式（5）、（6）、（7）分别给出了地球上的空中水、陆地水、海洋水在一步水分循环中t时刻的水分存有量与前一个时刻(t-1)的三种水体的存有量的关系。它们是三元一次方程。公式（5）、（6）、（7）显然是一组递推公式，即我们可以从某时刻的初始状态开始一步一步地求地球的空中水、陆地水和海洋水在随后的各个时刻的数值。

9.       而可以进行这种递推的条件是我们已经知道某起始时刻的三种水体的数量以及3×3的转移矩阵的具体的数值。

10.    以上的讨论与建立的水分循环马尔科夫转移模型的公式以及可以使我们进行一种数值实验：给出不同的起始时刻的空中水、陆地水、海洋水数量以及水体状态的转移矩阵，看看每经过一个时间步长，不同水体的数量是如何变化的。这些留在后面再讨论。