这样理解1的n次方以后…

张学文，20180202

一一得一，是小学生背乘法口诀中的第一句话。一一得一进行n次方自然还是1。你可以说这是废话，但是它不是错话，而且可以延伸出一些新知识（这就不是废话而是启发了）。

下面我们把一一得一进行n次问题展开，并且与事件（我熟悉的气象的问题，大家熟悉的社会的问题）的出现概率联系起来分析，而获得诸如负指数分布公式等等，做分析讨论。

假如某地出现了降水的可能性很小，例如是0.05，那么当地没有降水的概率就是0.95，对吧！于是降水概率与不降水的概率的合计值=1，对吧！

以上的话没有错误，但是可能存在含糊之处。是的，这应当补进去一个注解：这是指某比较短的时间段落内。如果时间段落比较长，那么该时间段落内降水现象出现的概率会增加的！

如果认定降水概率=0.05是指12小时这么长的时间段落，而且下一个12小时也不降水的出现概率与此前是否降水无关，那么24小时不降水的概率依照独立事件的概率可以相乘的道理就是0.05乘以0.05，=0.025，对吧。

原来的12小时是否降水问题可以表达为1=0.05+0.95

即任何12小时，降水现象和不下雨现象的出现概率的合计值=1，--必然事件。

依据独立事件的概率可以相乘的道理，我们把两个12小时（24 小时）的不同天气状况的出现概率归结为两个12小时的天气状况的概率的乘积，于是有

1乘1=1，1×1=1

而1=0.05+0.95 即

1²=(0.05+0.95)²=(0.05)²+(2×0.05×0.95)+(0.95)²=0.025+0.095+0.9025

即我们把独立事件的概率乘法用到概率=1的完备事件上，就成为1的平方了。而对它做二项式展开则分别获得三个数0.025，0.095，0.9025

显然，它们分别是24小时都有降水的概率、只有一个12小时内有降水的概率和24小时都无降水的概率。

也就是说我们通过对1 的平方（依概率值的合计）的展开而获得了两个时间段内不同天气展开的出现概率的结果。看来依概率值的合计值=1，而把它的平方做代数学的多项式展开，我们可以轻易获得不同意义的知识：多个对应概率值。

显然

1.        如果要求36小时，即3个12小时的天气状况做概率分析，我们可以对1的三次方依概率合计值做二项式。

2.        如果分析n个12小时的天气状况的概率，我们可以对1的n次方这个二项式做展开。所有可能的结局的对应概率读都一次性的展现出来了。

3.        n个时间段都是有降水（无降水）的概率是这种对合计值=1的n次方展开的第1项（最后一项），显然这种概率分布是n的负指数函数。而负指数分布是重要的概率分布类型。我昨天提供的我国无降水笼罩面积与时间段的长度关系的分布就是例子，http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=2024&do=blog&id=1098017。

4.        如果一个时间段的天气状况是由晴天、阴天、…、降水等等共m个互不相容的状态组成，并且知道其对应的出现概率，那么n个时间段内各种天气（组合）的出现概率就由m个数的合计值=1的n次方的展开式的对应项而分别（同时）获得。

5.        看来把1依m个小于1的数的合计值做n次展开（多项式展开）可以获得丰富的概率分布，负指数分布，白努利分布等可能都是它的特例。

6.        气象仅是例子，类似的事物应当非常多，这有待挖掘。

记得冯向军在他的博客中也用到合计值=1的事件的表达与讨论，对合计值=1的n次多项式展开的深刻、多方面含义，有待我们认识。

看来这样理解1的n次方以后…有很多收获...

希望知道您对此的见解。