我猜：蒸发去向矩阵与降水来源矩阵是互逆的矩阵！

张学文，20171114

“今天清晨想到蒸发去向矩阵与降水来源矩阵应当是两个互为逆矩阵的矩阵。但是白天就此没有明确落实为文字表述”---这是我本月12日的日记文字。可惜两天来我为此认识为写的文字是不成功的。这不是说这个猜想错了，而是清楚表达有关的认识不容易。我现在力不从心。

下面是对此问题的不成熟的表达，立此为据，以后再改进完善。

我也欢迎他人帮助我完善之。

1.        地球表面每天都有水分变成水汽蒸发而进入空中（大气层），并且在数日（数十）内再变成雨雪返回下垫面。在平均的气候意义下蒸发量与降水量是相等的。这是物质不灭定律在水分循环中的体现。

2.        由于空气水汽的运动，甲地蒸发的水分也可以到地球的其他地方变成降水。某地的降水可以是地球各处蒸发来的。究竟本地降水有多少来自那里是气象学需要回答而又难以定量回答的问题。

3.        现在我们把全地球划分为n块（例如7大洲，4大洋，就是分为11块），并且已经知道了每快地区的年蒸发量与降水量（如知道中国的年降水量大约是6万亿立方米等等）。显然，每个区域的蒸发水汽（经过在空气的运动）都可以到达各个区域。即一个区域的蒸发可以到达n个区域降落（降水）。

4.        既然每个区域的蒸发可以达到n个区域（降水），那么n个不同蒸发区域与n个不同区域的降水就是有n×n个不同的蒸发降水路径。注意n×n已经构成了一个方阵！

5.        设第i个区域的蒸发量是Ei，在完成水分循环以后这些蒸发的水分就在n个区域变成降水。规定第i个区域的蒸发量Ei中有百分之f_i1的比例的水分在第1个区域着变成降水，有百分之f_ij的比例的水分在第j个(j=1,2,…,n)区域着变成降水。

6.        由于水分是循环而不是丢失，所以各个百分比f_i1，f_i2，…，f_ij，…，f_in的合计值=1，即蒸发的水分100%变成了降水。

7.        我们把f_i1，f_i2，…，f_ij，…，f_in这n个值称为蒸发（第i个区域）去向（权重）矢量。显然n个区域就有n个蒸发去向（权重）矢量。

8.        每个区域的蒸发都存在一个去向（有n个分量）矢量，那么地球的n个区域就存在n个矢量。把这些矢量摆在一起，于是就有一个蒸发去向（权重）矩阵F

蒸发去向（权重）矩阵=
f_i1，f_i2，…，f_ij，…，f_in

F₂₁，f₂₂，…，f_2j，…，f_i2

….

f_i1， f_i2，…，f_ij，…， f_in

_…

F_n1，f_n2，…，fn_j，…，f_nn

9.        以上的蒸发权重矩阵表达了n个区域的蒸发在n个区域变成降水的百分率。其中的每一行的合计值=1.

10.     每个矩阵（方阵）元素值（百分比）与该蒸发区域的蒸发量的乘积都是它对应的区域的降水量的一部分。而每个区域的降水量来自各个区域的蒸发量乘以蒸发去向矩阵对应的元素值的累计值。

11.     交代了蒸发去向矩阵，现在引入降水来源矩阵。我们现在转而站在降水的角度可以这样分析：本区域的降水量中有多少的百分比（百分之几）是来自第1，第2，第n 个区域的蒸发。于是我们不难用类似前面的思路，而构成每个区域的一个降水来源（百分比，权重）矢量（它有n个分量）。例如第2个区域的800毫米年雨量中有12%来自区域3的蒸发等等。如此，对于n个区域就分别存在n个降水来源矢量。而这n个降水（权重）来源矢量自然构成了一个降水来源（与各个区域的百分比）矩阵。它就是我们定义的降水的水分来源百分比的矩阵。而为了省事，我就不列出这个矩阵了。注意，由于思路的不同这个矩阵与蒸发去向矩阵不是一回事。降水来源矩阵表达本地降水中有多少（百分比）来自对应区域。

12.     地球上的各个分区所构成的蒸发去向矩阵与地球上各个分区的降水来源（权重）矩阵固然含义不同，但是显然它们有联系。这个联系是什么？这是我本月想到的问题。

13.     翻了翻数学书，简单的推了推，我的结论是：分区地球上的蒸发去向矩阵与降水来源矩阵应当是互为逆矩阵的。

14.     我们曾经用F表示蒸发去向矩阵，现在以G表示降水来源矩阵。那么所谓互为逆矩阵就是这两个矩阵的乘积=单位矩阵。FG=E, 这里的E表示单位矩阵。在知道了一个矩各个元素以后，我们可以按有关的对应公式（没有列在这里）计算出另外一个矩阵的各个元素的值。

15.     好了先写到此吧。我为自己找到了定量概念之间的数学关系而高兴。其他的待补充修订

2017.11.15补：今天下午无意中看到某某某2013年寄给我的一份资料：季节降水预测中的水分循环问题。该文先引了我的空中水文学初探一书中的对应思路与公式（其实那是2006年我的论文的内容），也（已经）在第3-5页给出了我在本博客中的相同认识（公式）。即2013年他们已经自己获得了这个公式（认识）。
由此看来，我昨天的本博客是在忘记或者疏忽了他们的工作情况下自己获得的。
特此补纪。希望不要误会。

20180513补充：

鉴于蒸发去向矩阵与降水来源矩阵互为逆矩阵，即我们知道了蒸发去向矩阵，就完全可以通过数学处理而获得降水来源矩阵。所以

只要我们知道全球各个分区的蒸发总量、蒸发转移矩阵，就可以计算出来全球各个分区的降水总量以及其中有多少百分比来自何处的蒸发。

参考文献

张学文：大气水分循环方程：2006，高原气象杂志，190-194页

张学文博客：我第一次猜到的蒸发转移矩阵就这么好？http://blog.sciencenet.cn/blog-2024-1083165.html

20180702补充：欢迎参考新认识

之1的地址：http://blog.sciencenet.cn/blog-2024-1120503.html  

之2的地址：http://blog.sciencenet.cn/blog-2024-1120593.html

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