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现代泛系导论第四章：现代泛系分形学

已有 2786 次阅读 2019-1-23 14:42 |个人分类:现代泛系|系统分类:人文社科| 现代泛系分形学, 现代泛系导论

现代泛系导论

The Introduction of Modern Pansystems

冯向军著

Feng Xiangjun

第四章现代泛系分形学

（2019年1月23日）

§4.1 现代泛系分形学概论

分形学由无到有，由冷到火热，又由火热步入至如今的寒冬。其根本问题出在哪里？就出在分形的实在性至今为止还没有得到现代人类社会的充分认可。

大自然真的是按数学家脑袋里的数学迭代公式，从简单生成元一步一步地迭代生成的吗？如果是，其物理或道理背景是什么？如果没有物理或道理背景的支撑，那么分形学就只能成为一门供大家娱乐和欣赏的美轮美奂的艺术了。
现代泛系分形学把现代泛系分形定义为具有某种意义上的均匀分布或最大似然分布的现代泛系叠加态(既可以有简单生成元，又可以有复杂生成元)，按照某种迭代法则，不断生成和灭亡其形态的结果，与是不是具有分数维没有关系。现代泛系分形可以是分数维，也可以是整数维。
现代泛系分形学的根本原理緣自佛陀亲口揭示的宇宙人生的特大秘密:众生有老作少，如是生灭。(僧伽咤经)。
现代泛系分形就是众生，第N-1代分形就是老众生，而第N代分形就是少众生。第N-1代分形按照某种迭代法则生成第N代分形，就是具体的“众生有老作少，如是生灭。”非但如此，现代泛系分形的少众生总具备与老众生相似的某些特征并且数量总比老众生多。迭代法则就相当于“一念”。老众生“一念”出生一群与之相似的少众生。“一念”包括而不限于某种意义上的阴阳和合。

众生从哪里来？现代泛系分形用科学佐证了：众生，从根本上而言，都是由老众生的“一念”或某种迭代法则所产生的。不同的“一念”或迭代法则就产生了不同种性的众生，并且令该类众生生生不息，这里面当然包含遗传和变异。

这就为现代泛系分形学的实在性奠定了根本道理的基础。

现代泛系分形学绝不只是供人们娱乐和欣赏的艺术，而是揭示宇宙人生真实不虚的演化规则的既古老又年轻的原创科学。现代泛系分形学于2018年和现代泛系理论一起横空出世，见解独到而又实在。现已初具规模。

§4.2 现代泛系分形的定义

§4.2.1 自在、实在、均匀分布

现代泛系业已证明：任何具有均匀的柯尔莫哥洛夫公理化概率分布的事物都是某种在无任何非自然约束条件下的自然存在或自在，也是某类事物在任何约束条件下的实在。因此，就有现代泛系对分形和分形科学的定义。

§4.2.2 现代泛系分形的定义：分形就是某种具有均匀分布的n元现代泛系叠加态（n维归一化广义向量）：p1A₁+p2A₂+...+pnAn。这其中，n为大于1的自然数。p1=p2=...=pn=1/n。Ai则是映射第i个最基本生存元的单位广义向量。所谓广义向量就是既有大小又有指向的量。所谓单位广义向量就是大小为1的广义向量。p_iA_i又称为分形广义向量的第i个分量。i=1，2，...,n。因此分形是某种自在和实在。

§4.2.3 现代泛系分形科学的定义：分形科学就是揭示自然和社会中丰富多彩的自在和实在及其各种规律的科学。

现代泛系希望这两个新定义引导天下分形研究的新潮流。从全新的视野重新看待和欣赏已知的和将被发现的分形。分形研究必将重新激起人们的巨大兴趣。

§4.2.4 现代泛系分形是对一切传统分形概念的至简统一和推广

传统分形的定义是部分与整体相似的形。但是巴恩斯利分形的发现者巴恩斯利却指出：自然中，并没有两片叶是全同的。那么巴恩斯利分形叶算不算分形？另一方面，传统分形中最经典的实例：海岸线也只具有统计学意义上的自相似性。那么海岸线算不算分形？

现代泛系业已证明：任何具有均匀的柯尔莫哥洛夫公理化概率分布的事物都是某种在无任何非自然约束条件下的自然存在或自在，也是某类事物在任何约束条件下的实在。

现代泛系分形的定义是：分形就是某种具有均匀分布的n元现代泛系叠加态（n维归一化广义向量）：p₁A1+p2A2+...+pnAn。这其中，n为大于1的自然数。p1=p2=...=pn=1/n。Ai则是映射第i个最基本元素或基元的单位广义向量。所谓广义向量就是既有大小又有指向的量。所谓单位广义向量就是大小为1的广义向量。p_iA_i又称为分形广义向量的第i个分量。i=1，2，...,n。因此分形是某种自在和实在。

只要将最基本元素或基元定义为点，那么任何不全同点所构成的集合---不全同点集均是现代泛系分形，因而也都是一种自在与实在。这样的现代泛系分形就含盖一切传统分形和统计学意义上的分形或近似的传统分形（例如巴恩斯利分形）。

当最基本元素或基元为线段时，现代泛系分形就直接是诸如雪花分形之类的种种传统分形。

因此，现代泛系分形是对一切传统分形概念的至简统一和推广。

§4.3 雪花分形的自在和实在性模型：现代泛系对科学的又一重要贡献

§4.3.1本节提要

终于揭示了分形的自在性和实在性，并把欧几里得整数维空间和分形的分数维空间都统一为具有均匀分布的柯尔莫哥洛夫公理化概率空间。分形本身极大地丰富了自在和实在性以及均匀分布的内涵，但是引入分数维却是人类探索自然中的一种诚实性的误入歧途。将欧几里得整数维空间和分形的分数维空间都统一为具有均匀分布的柯尔莫哥洛夫公理化概率空间则是一种返朴归真、拨乱反正、正本清源。

§4.3.2 各代雪花分形的自在和实在

对于任意给定的自然数n>=1，第n代雪花分形都具有均匀的柯尔莫哥洛夫公理化概率分布，而具有均匀的柯尔莫哥洛夫公理化概率分布的万有就是自在和实在，因此雪花分形是一种自在或实在。

§4.3.2.1 第1代雪花分形

第1代雪花分形可表达为如下归一化广义向量：

第1代雪花分形=1/4A₁+1/4A₂+1/4A₃+1/4A₄ (1.3-1)

这其中，A_i(i=1,2,3,4)是映射第1代雪花分形中第i个线段的单位广义向量，而1/4则是第i个广义向量的相对于第1代雪花分形总长度的大小或概率。第1代雪花分形具有均匀的柯尔莫哥洛夫公理化概率分布:(1/4,1/4,1/4,1/4)，因此也就是一种自在和实在。

§4.3.2.2 第2代雪花分形

第2代雪花分形可表达为如下归一化广义向量：

第2代雪花分形=1/16A₁+1/16A₂+1/16A₃+...+1/16A₁₆ （1.3-2）

这其中，A_i(i=1,2,3...,16)是映射第2代雪花分形第i个线段的单位广义向量，而1/16则是第i个广义向量的相对于第2代雪花分形总长度的大小或概率。第2代雪花分形具有具有均匀的柯尔莫哥洛夫公理化概率分布:(1/16,1/16,1/16...,1/16)，因此也就是一种自在和实在。

§4.3.2.3 第3代雪花分形

第3代雪花分形可表达为如下归一化广义向量：

第3代雪花分形=1/64A₁+1/64A₂+1/64A₃+...+1/64A₆₄ （1.3-3）

这其中，A_i(i=1,2,3...,64)是映射第3代雪花分形第i个线段的单位广义向量，而1/64则是第i个广义向量的相对于第3代雪花分形总长度的大小或概率。第3代雪花分形具有具有均匀的柯尔莫哥洛夫公理化概率分布:（1/64,1/64,1/64...,1/64)，因此也就是一种自在和实在。

§4.3.2.4 第n代雪花分形

第n代雪花分形可表达为如下归一化广义向量：

第n代雪花分形=1/4^ⁿA₁+1/4^ⁿA₂+1/4^ⁿA₃+...+1/4^ⁿA_4^ⁿ

这其中，A_i(i=1,2,3...,4^ⁿ)是映射第n代雪花分形第i个线段的单位广义向量，而1/4^ⁿ则是第i个广义向量的相对于第n代雪花分形总长度的大小或概率。第n代雪花分形具有具有均匀的柯尔莫哥洛夫公理化概率分布:（1/4^ⁿ,1/4^ⁿ,1/4^ⁿ...,1/4^ⁿ)，因此也就是一种自在和实在。

§4.3.3 雪花分形的长度

§4.3.3.1 雪花分形的长度

假设L(n)是第n次迭代雪花分形的长度,并假设第0次迭代雪花分形的的长度为1。

1.n=1

L(1)=(4/3)^1。

2.n=2

L(2)=4/9*4=(4/3)^2

3.n=3

L(3)=16/27*4=(4/3)^3

4.一般公式：

L(n)=(4/3)^n。

Koch分形长度L(n)随迭代次数n的变化详情如下所示。

§4.4 现代泛系分形基本定理

现代泛系分形基本定理：现代泛系分形中的不全同最基本元素或基元（如不全同点或线段等）互不隶属或没有交集。

证明：现代泛系关于广义向量的根本观点是：广义向量是一种依条件的存在，失去了该条件就根本不存在。广义向量的指向或广义方向就是广义向量的存在条件。因此，具有唯一的不同指向或广义方向的广义向量互不隶属或没有交集。现代泛系分形中的不全同最基本元素或基元（如不全同点或线段等），就是一些具有唯一的不同指向或广义方向的广义向量。因此，现代泛系分形中的不全同最基本元素或基元互不隶属或没有交集。

证毕。

§4.5 一切不全同点集都是分形、实在、自在

上图中从左到右的4个点分别为点1、点2、点3、点4.因此上图可表达为现代泛系叠加态：现代泛系叠加态=1/4点1+1/4点2+1/4点3+1/4点4。这其中1/4是点1、点2、点3、点4 相对总点数4的权重或柯尔莫哥洛夫公理化概率。因此，对应于上图的现代泛系叠加态具有均匀的柯尔莫哥洛夫公理化概率分布（1/4，1/4，1/4，1/4）。于是按现代泛系分形的定义，上图就是一个分形。又按§4.2.1 所述结论，上图也就是一种自在和实在。由此可见，现代泛系分形的范围极其宽广。

§4.6 现代泛系关于传统分形的思想大革命：分形的成形原因并非唯一

传统分形认为分形形成的原因是由对第n-1代简单分形生成元进行压缩、放大、平移、旋转、绕对称轴反转等相似变换，并将这些相似变换的结局合成为第n代生成元而成。这其中n=1,2,...N，而最终的分形就是第N代分形生成元。

但是，条条道路通罗马。即使是最经典的分形，其成形原因也并非唯一。认定世界是按照分形数学家的模子画出来的观点，显然是十分幼稚的。这种看法也被传统分形研究的热度已极大地下降的事实证明是行不通的。

对于包括人在内的胎生动物，将其成形过程理解为基本上是对先天本有的最终图像或模子的逐步填充过程（这其中当然也有后天变异的因素），可能更加符合事实。

§4.6.1 西兰花的成形

§4.6.1.1 西兰花分形

可以认为西兰花是对其最小整数像素单元逐步填充而成。

§4.6.1.2 西兰花分形的最小整数像素单元(2x3x3)

§4.6.1.3 西兰花分形整数像素数为20x30x3时的图像

§4.6.1.4 西兰花分形整数像素数为40x60x3时的图像

§4.6.1.5 西兰花分形整数像素数为60x90x3时的图像

§4.6.1.6 西兰花分形整数像素数为200x300x3时的图像

§4.6.1.7 西兰花分形整数像素数为300x450x3时的图像

§4.6.2 现代泛系分形熊猫的生成过程

§4.6.2.1 现代泛系分形熊猫100元现代泛系叠加态

§4.6.2.2 现代泛系分形熊猫1000元现代泛系叠加态

§4.6.2.3 现代泛系分形熊猫5000元现代泛系叠加态

§4.6.2.4 现代泛系分形熊猫30672元现代泛系叠加态

§4.7 现代泛系分形与是否具有分数维没关系

现代泛系分形与是否具有分数维没关系，既可以是分数维分形，也可以是整数维分形。

§4.7.1 整数维分形

所谓整数维分形，就是按相似维数计算公式具有整数维的现代泛系分形。所谓相似维数计算公式，是指：

D=log(b)/log(a) （4.7-1）

或

a^D=b (4.7-2)

这其中a指把相互垂直的线段任意一分为a，而得到b个与整体在仿射变换意义下相似的图形。

整数维分形可包含彼此相似的不规则图形或分数维分形。当a=1时，整数维分形就是分形的整体。这时，整数维分形可包含一切分数维分形的整体。当a=1时，b=a=1。可以按罗必塔法则求极限。

D=log(a)/log(a),a趋近1 =1/a/1/a=1

因此任何整体均可视为1维。

（例一）二维分形熊猫

(例二）一类具备分数维分形一切特征的1维分形

本例要展示的是一类具备分数维分形一切特征的1维分形。由此可见要成为分形，分数维不是必要条件。

（一）算法

1.令β=30度。将第0代分形：单位线段[0，1]压缩1/2/cos(β)，并将压缩后的图形逆时钟旋转β度而形成第1代分形的左半部分A，又将压缩后的图形顺时钟旋转β度并平移至与A尾首相接的位置而形成第1代分形的右半部分B。A与B就合成为如下所示的第1代分形。因为在欧几里得1维空间上将线段任意一分为二，总能得到2个与整体相似的线段，而本分形将单位线段[0，1]一分为二，也只得到2个与整体相似的线段，因此本分形的相似维数=log(b)/log(a)=log(2)/log(2)=1维。

2.将第1代分形压缩1/2cos(β)并将压缩后的图形逆时钟旋转β度而形成第2代分形的左半部分A又将压缩后的图形顺时种旋转β度并平移至与A尾首相接的位置而形成第2代分形的右半部分B。A与B就合成为如下所示的第2代分形。

3.将第2代分形：压缩1/2/cos(β)，并将压缩后的图形逆时钟旋转β=度而形成第3代分形的左半部分A，又将压缩后的图形顺时钟旋转β度并平移至与A尾首相接的位置而形成第3代分形的右半部分B。A与B就合成为如下所示的第3代分形如下所示。

4.将第8代分形：压缩1/2/cos(β)，并将压缩后的图形逆时钟旋转β=度而形成第9代分形的左半部分A，又将压缩后的图形顺时钟旋转β度并平移至与A尾首相接的位置而形成第9代分形的右半部分B。A与B就合成为如下所示的第9代分形。

（二）讨论

本整数维1维分形具备分数维分形一切特征。由此可见要成为分形，分数维不是必要条件。所谓的整数维1维分形是将线段任意分割为a段总能得到b=a个与整体相似的线段。

§4.7 现代泛系分形所创生的似人分形---新思路

已有的分形可用照相等手段获得，再用分形变换来重构意义不大。但是用随心所欲的产生不全同点集的仿射变换---极大似然现代泛系叠加态变换，却可轻而易举地创生许许多多奇妙无比的新的分形图案。

另外，数学是用来为人服务的工具。倘若被任何数学所拘束，把宝贵的生命耗费在数学模子下的苦思冥想，那就得不偿失了。

总结一下极大似然现代泛系叠加态变换，无非如下所示的几类。

§4.7.1 狭义的极大似然现代泛系叠加态变换

x(n)=ax(n-1)+by(n-1)+e

y(n)=cx(n-1)+dy(n-1)+f

|a|=|b|

|c|=|d|

或

a+c=b+d

§4.7.2 广义的极大似然现代泛系叠加态变换

只要能产生不全同点集的仿射变换就是极大似然现代泛系叠加态变换。

§4.7.3 现代泛系分形所创生的似人分形（圆脸）1

§4.7.4 现代泛系分形所创生的似人分形（尖脸）2

§4.7.5 现代泛系分形所创生的似人分形3

§4.8 现代泛系分形的拓扑性

§4.8.1 从三维雪花分形的层次性来看现代泛系分形是最广义的拓扑分形

§4.8.1.1 什么是拓扑结构【4-1】?
　所谓“拓扑”就是把实体抽象成与其大小、形状无关的“点”，而把连接实体的线路抽象成“线”，进而以图的形式来表示这些点与线之间关系的方法，其目的在于研究这些点、线之间的相连关系。表示点和线之间关系的图被称为拓扑结构图。拓扑结构与几何结构属于两个不同的数学概念。

§4.8.1.2 三维雪花分形

§4.8.1.3 三维雪花分形的层次性

§4.8.1.3.1 点层次的三维雪花分形

对应z坐标值z(n)的第n代点层次的雪花分形可表达为如下归一化广义向量：

第n代雪花分形=（1/(4^ⁿ+1))A₁+(1/(4^ⁿ+1))A₂+(1/(4^ⁿ+1))A₃+...+(1/(4^ⁿ+1))A_4^ⁿ₊₁（4.8-1）

这其中，A_i(i=1,2,3...,4^ⁿ+1)是映射第n代雪花分形第i个点的单位广义向量，而1/(4^ⁿ+1)则是第i个点的相对于第n代雪花分形总点数的权重或概率。第n代雪花分形具有具有均匀的柯尔莫哥洛夫公理化概率分布:（1/(4^ⁿ+1)，1/(4^ⁿ+1)，1/(4^ⁿ+1)，...1/(4^ⁿ+1))，因此也就是一种自在和实在。

在现代泛系分形看来，点层次的分形由具有不同指向的，因而互不隶属、没有交集、相互平等的不全同点的集合构成。这种构成与点具体映射什么、点与点之间的几何关系、形状和测度毫无关系。但是现代泛系分形却给出了点层次的分形的通用表达式（4.8-1），因此是典型的最广义的拓扑分形。

§4.8.1.3.2 相似线段层次的三维雪花分形

对应z坐标值z(n)的第n代相似线段层次的雪花分形可表达为如下归一化广义向量：

第n代雪花分形=1/4^ⁿA₁+1/4^ⁿA₂+1/4^ⁿA₃+...+1/4^ⁿA₄ⁿ （4.8-2）

这其中，A_i(i=1,2,3...,4^ⁿ)是映射第n代雪花分形第i个相似线段的单位广义向量，而1/4^ⁿ则是第i个相似线段的长度的相对于第n代雪花分形总长度的权重或概率。第n代雪花分形具有具有均匀的柯尔莫哥洛夫公理化概率分布:（1/4^ⁿ，1/4^ⁿ，1/4^ⁿ，...1/4^ⁿ），因此也就是一种自在和实在。

在现代泛系分形看来，相似线段层次的分形由具有不同指向的，因而互不隶属、没有交集、相互平等的不全同、等长度线段的集合构成。这种构成与相似线段具体映射什么、相似线段之间的几何关系、形状和具体测度毫无关系。但是现代泛系分形却给出了相似线段层次的分形的通用表达式（4.8-2），因此是典型的广义的拓扑分形。

§4.8.1.3.3 建立在线段上的相似形层次上的三维雪花分形

对应z坐标值z(n)的第n代建立在线段上的相似形层次的雪花分形，均可表达为如下归一化广义向量：

第n代建立在线段上的相似形层次的雪花分形=1/4A₁+1/4A₂+1/4A₃+1/4A₄ （4.8-3）

这其中，A_i(i=1,2,3，4)是映射第n代雪花分形的第i个建立在线段上的相似形的单位广义向量，而1/4则是第i个建立在线段上的相似形相对于第n代雪花分形总的建立在线段上的相似形数的权重或概率。第n代建立在线段上的相似形层次的雪花分形具有均匀的柯尔莫哥洛夫公理化概率分布:（1/4，1/4，1/4,1/4），因此也就是一种自在和实在。

在现代泛系分形看来，建立在线段上的相似形层次的分形由具有不同指向的，因而互不隶属、没有交集、相互平等的不全同建立在线段上的相似形的集合构成。这种构成与建立在线段上的相似形具体映射什么、建立在线段上的相似形之间的几何关系、形状和具体测度毫无关系。但是现代泛系分形却给出了建立在线段上的相似形层次的分形的通用表达式（4.8-3），因此是典型的广义的拓扑分形。

§4.8.2 从红花绿叶看现代泛系分形的本质拓扑性