分数维与作为事物的存在形式---空间的维数不可相提并论

冯向军

2018/10/21

  豪斯道夫所引入的分数维，是对空间形体的划分的一种测度。用半径为R的小球，来覆盖一空间形体，所需要的小球的最小数目N与半径R的某次方R^d成反比。例如，覆盖一有限线段，N反比于R¹，d=1,而覆盖一有限的平面形体，N反比于R²,d=2。当R->0时，d的大小就是豪斯道夫维。当d为分数时，就是豪斯道夫所引入的分数维。所谓覆盖，也可理解为空间形体能被划分为多少个小球的大小。因此，豪斯道夫所引入的分数维本质上是对空间形体的划分的一种测度。与作为事物的存在形式---空间本身的维数不可相提并论。对业已在整数维空间中依条件而存在的空间形体的划分与空间形体的存在条件，几乎完全是两码事。

  作为事物的存在形式---空间的维数，从本质上来讲，是作为依条件而存在或条件存在的事物，其存在所包含的独立的存在条件的个数。换句话说，空间的维数是作为广义向量的依条件而存在或条件存在的事物，其赖以存在的独立的广义方向或指向的个数。因此作为事物的存在形式---空间的维数，即使有无穷维，那也是无穷多个相互独立的广义方向或指向。相互独立的广义方向或指向是一个一个的，完全不必要用分数个或无理数个来描述。

  镜中的花无花，非花，是镜；水中月无月，非月，是水。所谓分数维空间全部都在整数维空间中，赖整数维空间借給它们的生存空间而得以存在。因此，恰似镜中花、水中月，全都在整数维空间中的所谓分数维，就实在而言，无分数维，非分数维，是整数维。分数维D的相似维数的定义是：

  D=log(b)/log(a)   (1)

  这其中a和b是指：当把形体的生成元的相互独立的线段一分为a时，可得b个与生成元整体在仿射变换意义下相似的形体。按这个定义，线段的划分并不必须是等分的。例如，一维具有单位长度的线段，被任意划分为长短不一的两段(a=2)，都可得到与具有单位长度线段在仿射变换意义下相似的两个线段(b=2)。

  于是，一分为二的等分数a并不一定是整数2，所得平等的与具有单位长度线段相似的线段数b也并不一定是整数2。

  事实上，

  a=1+p2/p1   (2)

  b=1+p2/p1   (3)

这其中，p1是被一分为二的线段中，较长一段的线段长度相对于单位长度的百分比，而p2是被一分为二的线段中，较短一段的线段长度相对于单位长度的百分比。只有当p1=p2=50%时，a和b才最大：a=b=2。否则a和b都是小于2而大于1的实数。

  当p2->0或较短一段的线段长度相对于单位长度的百分比趋近于零时，

a=b->1。这时，所谓的一分为二就趋向一分为一或对应没有被划分的整体。这时，

  相似维数=log(b)/log(a),a->1

=log(a)/log(a),a->1=(1/a)/(1/a)=1。

  因此，和作为事物的存在形式---空间的维数完全不同，现代泛系分形中的相似维度D，对一切整体(包括分数维整体），全部相等，等于整数1。这是因为一切整体相对于划分而言全都一个样:没有被划分的缘故。