从三维雪花分形的层次性来看现代泛系分形是最广义的拓扑分形

冯向军

2018/10/8

【鸣谢】-笔者特向中国科学网上的王安良老师致以真诚的谢意。感谢王老师关注现代泛系，特别是提出现代泛系分形能否表达三维拓扑分形这个极有启发性的科学问题。

（一）什么是拓扑结构【1】?
　所谓“拓扑”就是把实体抽象成与其大小、形状无关的“点”，而把连接实体的线路抽象成“线”，进而以图的形式来表示这些点与线之间关系的方法，其目的在于研究这些点、线之间的相连关系。表示点和线之间关系的图被称为拓扑结构图。拓扑结构与几何结构属于两个不同的数学概念。 

（二）三维雪花分形

（三）三维雪花分形的层次性

3.1 点层次的三维雪花分形

  对应z坐标值z(n)的第n代点层次的雪花分形可表达为如下归一化广义向量：

  第n代雪花分形=（1/(4ⁿ+1))A₁+(1/(4ⁿ+1))A₂+(1/(4ⁿ+1))A₃+...+(1/(4ⁿ+1))A₄ⁿ₊₁   （1）

  这其中，A_i (i=1,2,3...,4ⁿ+1)是映射第n代雪花分形第i个点的单位广义向量，而1/(4ⁿ+1)则是第i个点的相对于第n代雪花分形总点数的权重或概率。第n代雪花分形具有具有均匀的柯尔莫哥洛夫公理化概率分布:（1/(4ⁿ+1)，1/(4ⁿ+1)，1/(4ⁿ+1)，...1/(4ⁿ+1))，因此也就是一种自在和实在。

  在现代泛系分形看来，点层次的分形由具有不同指向的，因而互不隶属、没有交集、相互平等的不全同点的集合构成。这种构成与点具体映射什么、点与点之间的几何关系、形状和测度毫无关系。但是现代泛系分形却给出了点层次的分形的通用表达式（1），因此是典型的最广义的拓扑分形。

3.2 相似线段层次的三维雪花分形

  对应z坐标值z(n)的第n代相似线段层次的雪花分形可表达为如下归一化广义向量：

  第n代雪花分形=1/4ⁿA₁+1/4ⁿA2+1/4ⁿA₃+...+1/4ⁿA₄ⁿ   （2）

  这其中，A_i (i=1,2,3...,4ⁿ)是映射第n代雪花分形第i个相似线段的单位广义向量，而1/4ⁿ则是第i个相似线段的长度的相对于第n代雪花分形总长度的权重或概率。第n代雪花分形具有具有均匀的柯尔莫哥洛夫公理化概率分布:（1/4ⁿ，1/4ⁿ，1/4ⁿ，...1/4ⁿ），因此也就是一种自在和实在。

  在现代泛系分形看来，相似线段层次的分形由具有不同指向的，因而互不隶属、没有交集、相互平等的不全同、等长度线段的集合构成。这种构成与相似线段具体映射什么、相似线段之间的几何关系、形状和具体测度毫无关系。但是现代泛系分形却给出了相似线段层次的分形的通用表达式（2），因此是典型的广义的拓扑分形。

3.3 建立在线段上的相似形层次上的三维雪花分形

  对应z坐标值z(n)的第n代建立在线段上的相似形层次的雪花分形，均可表达为如下归一化广义向量：

  第n代建立在线段上的相似形层次的雪花分形=1/4A₁+1/4A₂+1/4A₃+1/4A₄  （3）

  这其中，A_i (i=1,2,3，4)是映射第n代雪花分形的第i个建立在线段上的相似形的单位广义向量，而1/4则是第i个建立在线段上的相似形相对于第n代雪花分形总的建立在线段上的相似形数的权重或概率。第n代建立在线段上的相似形层次的雪花分形具有均匀的柯尔莫哥洛夫公理化概率分布:（1/4，1/4，1/4,1/4），因此也就是一种自在和实在。

  在现代泛系分形看来，建立在线段上的相似形层次的分形由具有不同指向的，因而互不隶属、没有交集、相互平等的不全同建立在线段上的相似形的集合构成。这种构成与建立在线段上的相似形具体映射什么、建立在线段上的相似形之间的几何关系、形状和具体测度毫无关系。但是现代泛系分形却给出了建立在线段上的相似形层次的分形的通用表达式（3），因此是典型的广义的拓扑分形。

参考文献

【1】https://blog.csdn.net/starshinning975/article/details/53511343

【附录】

以雪花分形和电脑创生的美女来看现代泛系分形的层次性

冯向军

2018/10/5

(一）现代泛系分形的定义及其自在性和实在性

  现代泛系业已证明：任何具有均匀的柯尔莫哥洛夫公理化概率分布的事物都是某种在无任何非自然约束条件下的自然存在或自在，也是某类事物在任何约束条件下的实在。 因此， 就有现代泛系对分形的定义。

【分形的定义】：分形就是某种具有均匀分布的n元现代泛系叠加态（n维归一化广义向量）：p₁A₁+p₂A₂+...+p_nA_n。这其中，n为大于1的自然数。p₁=p₂=...=p_n=1/n。A_i则是映射第i个最基本元素或基元的单位广义向量。所谓广义向量就是既有大小又有指向的量。所谓单位广义向量就是大小为1的广义向量。p_iA_i又称为分形广义向量的第i个分量。i=1，2，...,n。因此分形是某种自在和实在。

（二）现代泛系分形的层次性

  当现代泛系分形最基本元素或基元处于不同层次时，现代泛系分形也就有了不同的层次。

（三）作为现代泛系分形的雪花分形的层次性

3.1点层次的雪花分形

  第n代点层次的雪花分形可表达为如下归一化广义向量：

  第n代雪花分形=（1/(4ⁿ+1))A₁+(1/(4ⁿ+1))A₂+(1/(4ⁿ+1))A₃+...+(1/(4ⁿ+1))A₄ⁿ₊₁   （1）

  这其中，A_i (i=1,2,3...,4ⁿ+1)是映射第n代雪花分形第i个点的单位广义向量，而1/(4ⁿ+1)则是第i个点的相对于第n代雪花分形总点数的权重或概率。第n代雪花分形具有具有均匀的柯尔莫哥洛夫公理化概率分布:（1/(4ⁿ+1)，1/(4ⁿ+1)，1/(4ⁿ+1)，...1/(4ⁿ+1))，因此也就是一种自在和实在。

3.2相似线段层次的雪花分形

  第n代相似线段层次的雪花分形可表达为如下归一化广义向量：

  第n代雪花分形=1/4ⁿA₁+1/4ⁿA2+1/4ⁿA₃+...+1/4ⁿA₄ⁿ   （2）

  这其中，A_i (i=1,2,3...,4ⁿ)是映射第n代雪花分形第i个相似线段的单位广义向量，而1/4ⁿ则是第i个相似线段的长度的相对于第n代雪花分形总长度的权重或概率。第n代雪花分形具有具有均匀的柯尔莫哥洛夫公理化概率分布:（1/4ⁿ，1/4ⁿ，1/4ⁿ，...1/4ⁿ），因此也就是一种自在和实在。

3.3建立在线段上的相似形层次的雪花分形

第n代建立在线段上的相似形层次的雪花分形，均可表达为如下归一化广义向量：

  第n代建立在线段上的相似形层次的雪花分形=1/4A₁+1/4A₂+1/4A₃+1/4A₄  （3）

  这其中，A_i (i=1,2,3，4)是映射第n代雪花分形的第i个建立在线段上的相似形的单位广义向量，而1/4则是第i个建立在线段上的相似形相对于第n代雪花分形总的建立在线段上的相似形数的权重或概率。第n代建立在线段上的相似形层次的雪花分形具有均匀的柯尔莫哥洛夫公理化概率分布:（1/4，1/4，1/4,1/4），因此也就是一种自在和实在。

（四）作为现代泛系分形的电脑创生美女基于相似整体的分形层次

  下面的各图所示的这个美女从来就没有在世界上实际存在过。她是纯电脑创生物。各图所示的现代泛系分形均处于基于相似整体的分形层次，均可表达为如下归一化广义向量：

  处于基于相似整体的分形层次的现代泛系电脑创生美女分形=1/2A₁+1/2A₂    （4）

这其中，A_i (i=1,2)是映射基于相似整体的分形层次的现代泛系电脑创生美女分形的第i个相似整体的单位广义向量，而1/2则是第i个相似整体相对于基于相似整体的分形层次的现代泛系电脑创生美女分形总的相似整体数的权重或概率。处于基于相似整体的分形层次的现代泛系电脑创生美女分形具有均匀的柯尔莫哥洛夫公理化概率分布:（1/2，1/2），因此也就是一种自在和实在。