【柯西无穷小】是地地道道的水货！

美国归侨冯向军

2018/9/2

  柯西【1】把无穷小或无穷小量简单地定义为一个【以零为极限的变量】。本文把这种无穷小或无穷小量称为【柯西无穷小】，好有别于【牛顿无穷小量⚪】。

  现行微积分对极限的定义是：

  设函数  在点  的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数  

（无论它多么小），总存在正数 ，使得当x满足不等式  时，对应的函数值  

都满足不等式：那么常数A就叫做函数  当  时的极限，记作

  在现行微积分对极限的定义中，自变量x永远达不到与x₀的【零界】，而函数f(x)也永远达不到与A的【零界】。

  假如当  时函数 的极限为零。那么按柯西的定义当  时， 就是【柯西无穷小】。

  这个【柯西无穷小】所谓的“无限逼近零”，其实是“永远都在自己的世界---【非零界】内”意义下的“无限逼近”，永远都无法达到【非零界】与零的界面的中线---【零界】。所以【柯西无穷小】就永远都不是真正意义上的【无限逼近零】。只有【牛顿无穷小量⚪】，才是真实意义下的【无限逼近零】。相对于【牛顿无穷小量⚪】这个【无限逼近零】的正牌货而言， 【柯西无穷小】是地地道道的水货！

  【备考1】我们说中俄边境某界碑上的一根探针正差不多处在无限逼近俄国的临界位置，是指这根探针正差不多处在界碑的中线上。界碑的中线既不只属于中国，又不只属于俄国，而是同时平等地属于既属于中国又属于俄国。象界碑的中线这样的客观现实就是【零界】。【牛顿无穷小量⚪】就处在这样的【零界】，而【柯西无穷小】永远达不到这样的【零界】，只在“中国”（比喻非零界）一侧变来变去的。所以说【牛顿无穷小量⚪】才是【无限逼近】意义上的正牌货，而【柯西无穷小】只是地地道道的水货！这真正是差之毫厘，失之千里！

  【备考2】牛顿本人从未給出过关于【牛顿无穷小量⚪】的确切定义。由于【贝克莱悖论】的严重干扰，关于【牛顿无穷小量⚪】的确切定义历经200多年后，才由横空出世势不可挡的、经凤凰涅槃而浴火重生的【现代泛系】于2018年8月底給出！

【牛顿无穷小量⚪】的【现代泛系确切定义】：【牛顿无穷小量⚪】是构成【牛顿原始微积分世界】的【量子】。所谓【量子】就是不能再被分割而其组成仅受自然约束条件限制的事物的基本存在形式【2】【牛顿无穷小量⚪】这个【量子】的状态可分为未坍缩态和坍缩态，正如【薛定鄂猫】这个【微观世界的量子】的状态可分为未坍缩态和坍缩态一样。未坍缩态牛顿无穷小量⚪是只广义的薛定鄂猫或特殊的冯向军泛有序对。

未坍缩态牛顿无穷小量⚪=冯向军泛有序对（【零】，【非零】）。因此，

未坍缩态牛顿无穷小量⚪=0.5【零】+0.5【非零】。

这其中，【零】是指向零这个数的单位广义向量，而【非零】是指向非零数的单位广义向量。所谓广义向量就是既有大小又有指向的量。单位广义向量就是大小为1的广义向量。未坍缩态牛顿无穷小量⚪平等遍历【零】和【非零】，同时是【零】又是【非零】，【零】就是【非零】，【非零】就是【零】。从是【零】可推以推出【非零】。从【非零】可推出是【零】。

 坍缩态牛顿无穷小量⚪要么处于【零】态，要么处于【非零】态。当牛顿无穷小量⚪引起任何变化时，就坍缩成【非零】态。所谓【非零】态就是某个非零的数。当牛顿无穷小量⚪不引起任何变化时，就坍缩成【零】态。所谓【零】态就是指零这个的数。

【1】http://blog.sina.com.cn/s/blog_9407ba860100u49b.html

【2】冯向军，关于决定性事件的概率论，科学网，2017年7月16日。

http://blog.sciencenet.cn/blog-1968-1072125.html

【附录】

对【贝克莱悖论】彻底解悖

美国归侨冯向军博士

2018/9/2

（一）【贝克莱悖论】

牛顿原始的求【导数】或【流数】的方法是：

(f(x+Δx）-f(x))/Δx = F(x，Δx）|令Δx=0   = df/dx（1）

这其中，x是自变量，Δx是自变量的增量，f(x)是函数f在自变量=x时的函数值。(f(x+Δx）-f(x))是对应于自变量的增量Δx的函数f的值的增量。df/dx就是函数f(x)在x处的【导数】或【流数】。

【举例】

当f(x)=x^2,

((x+Δx）^2-x^2)/Δx =（2x+Δx）|令Δx=0 = df/dx   (2)

df/dx= 2x    (3)

所谓【贝克莱悖论】就是指式（1）的第一个等号左边的Δx不等于零而第一个等号右边的Δx=0 。

（二）进一步彻底解悖【贝克莱悖论】

  牛顿的实际做法是：

（第一步）做运算：

(f(x+Δx）-f(x))/Δx = F(x，Δx）   （4）

这其中，等式两边的Δx 都不等于零。（4）式也与导数df/dx毫无直接关系， F(x，Δx）是(f(x+Δx）-f(x))/Δx 的最终形式。

（第二步）做定义：

【定义】

F(x，Δx）|令Δx=0   = df/dx

或

df/dx=F(x，Δx）|令Δx=0 

这些数学处理完全符合【形式逻辑】。没有任何等式两边的Δx既等于零又不等于零的情况出现。

真正的问题就变成了：

作为牛顿无穷小量⚪的Δx是否可以在不同场合又可以等于零，又可以不等于零。贝克莱大主教认为不行。【现代泛系微积分原理】认为完全可行！

【附录】

正本清源返朴归真的【现代泛系微积分原理】的三大要点

美国归侨冯向军博士

2018/9/1

    在【现代泛系】看来，【牛顿原始微积分】是完全正确而毫无悖论的，是闪耀着真理的万丈光芒的。人类科学完全应该返朴归真，回归【牛顿原始微积分】。

  但是，在人类科学-微积分发展的历史上，因为由大主教贝克莱所提出的所谓的【贝克莱悖论】【1】出现的缘故，【牛顿原始微积分】的原理一直深藏在【牛顿原始微积分】的久经实践检验的卓有成效的实际应用中，不被人们所发觉和承认。【牛顿原始微积分】的灵魂：【牛顿无穷小量⚪】也被柯西之流所抛弃或彻底异化。完全可以说：【现行微积分】是对【牛顿原始微积分】的精神实质的彻底背叛或异化。

 丁小平先生等有识之士【2】，虽然或许真的发现了【现行微积分】带根本性的大问题，但是也还未发现【牛顿原始微积分】的无比圆满或无悖论性。

  于是，历史老人把正本清源、返朴归真、在新时代的新视野下重新发现【牛顿原始微积分】的根本原理：【现代泛系微积分原理】的重大历史机遇給了经凤凰涅槃浴火重生而横空出世、势不可挡的【现代泛系】。

  一个大功基本告成的【牛顿原始微积分】的根本原理：【现代泛系微积分原理】已然成型。

  【牛顿原始微积分】的根本原理：【现代泛系微积分原理】有三大基本要点。

（一）【牛顿无穷小量⚪】不是所谓具有【不确定性】的以零为极限的【变量】，而是具有【确定性的最大复杂性】的【量子】-广义的薛定鄂猫或冯向军泛有序对。

（二）【现代泛系极限概念】不是所谓【无限逼近而永远不可达】而是【牛顿无穷小量⚪】的【最大似然现代泛系叠加态】的【二元对立的坍缩】。

（三）【牛顿原始微积分】根本就不存在所谓的【贝克莱悖论】。

【1】贝克莱悖论，百度百科。https://baike.baidu.com/item/%E8%B4%9D%E5%85%8B%E8%8E%B1%E6%82%96%E8%AE%BA/2482725

【2】丁小平，浅谈现行微积分原理的错误，百度文库。https://wenku.baidu.com/view/1da252e2b4daa58da1114a4b.html

【附录】

【牛顿无穷小量⚪】的本质：构成微积分世界的【量子】

美国归侨冯向军

2018/8/31

  【量子】就是不能再被分割而其组成仅受自然约束条件限制的事物的基本存在形式【1】。构成微积分世界的【量子】就是【牛顿无穷小量⚪】。【牛顿无穷小量⚪】有如下所示只有各类【量子】才具备的特性。

  未坍缩的牛顿无穷小量⚪是一只广义的薛定鄂猫或冯向军泛有序对：

  冯向军泛有序对（【零】，【非零】）= 0.5【零】+0.5【非零】  （1）

  未坍缩的牛顿无穷小量⚪平等遍历【零】和【非零】，同时是【零】又是【非零】，【零】就是【非零】，【非零】就是【零】。从是【零】可推以推出【非零】。从【非零】可推出是【零】。

  未坍缩的【牛顿无穷小量⚪】这种作为微积分【元存在】的特性，从【牛顿原始微积分】创立的第一天起，就注定了符合现实世界的不以人的意志为转移的【客观实在】的【牛顿原始微积分】不是【形式逻辑王国】的【臣民】而是【现代泛系最大似然逻辑王国】和【现代泛系人性化逻辑r-逻辑王国】的上等公民。完全可以不受【形式逻辑】（与【现代泛系最不可能逻辑】等价)的管辖。因此，【牛顿原始微积分】根本不存在所谓的【贝克莱悖论】！

  坍缩状态的牛顿无穷小量⚪要么处于【零】态，要么处于【非零】态。

  当牛顿无穷小量⚪引起任何变化时，就坍缩成【非零】态。所谓【非零】态就是某个非零的数。

  当牛顿无穷小量⚪不引起任何变化时，就坍缩成【零】态。所谓【零】态就是指零这个数。

  牛顿的后来者【柯西】之流所推出的【现代微积分】，是对【牛顿原始微积分】的【根本背叛】和【异化】。【现代微积分】抛弃了【牛顿原始微积分】的灵魂和【量子】---作为广义的薛定鄂猫或冯向军泛有序对的【牛顿无穷小量⚪】。

  所谓【无限逼近而永远不可达】概念是基于【形式逻辑】的对【牛顿无穷小量⚪】的【二元对立的坍缩态】概念的背叛和异化！

  【现代微积分】应以某种现代形式回归【牛顿原始微积分】的灵魂和【量子】！

参考文献

【1】冯向军，关于决定性事件的概率论，科学网，2017年7月16日。

http://blog.sciencenet.cn/blog-1968-1072125.html

【附录a】

 【现代泛系复杂逻辑】对【贝克莱悖论】和

【丁小平的工作】的反思

美国归侨冯向军博士

2018/8/30

（一）【贝克莱悖论】【1】

  贝克莱对牛顿的理论进行了攻击。例如他指责牛顿，为计算比如说x的导数，先将  取一个不为0的增量Δx，由(x + Δx)² − x²，得到2xΔx + (Δx)² ，后再被Δx除，得到2x + Δx，最后突然令Δx = 0 ，求得导数为2x 。这是“依靠双重错误得到了不科学却正确的结果”。因为无穷小量在牛顿的理论中一会儿说是零，一会儿又说不是零。因此，贝克莱嘲笑无穷小量是“已死量的幽灵”。贝克莱的攻击虽说出自维护神学的目的，但却真正抓住了牛顿理论中的缺陷，是切中要害的。

（二）丁小平的工作【2】

丁小平先生认为：以柯西为首的科学家建立了现在的微积分体系，现在的微积分体系也是个似是而非的体系。

（三）【现代泛系复杂逻辑】的反思

  正如量子力学的【薛定鄂猫】一样，牛顿原始创立的微积分中，其无穷小量也是一【广义的薛定鄂猫】。两者都是特殊的冯向军泛有序对：

【薛定鄂猫】=冯向军泛有序对（生，死）=0.5生+0.5死   （1）

【牛顿无穷小量】⚪=冯向军泛有序对（【零】，【非零】）

=0.5【零】+0.5【非零】   （2）

这其中，⚪代表牛顿原始创立的微积分中的无穷小量，在下称之为【牛顿无穷小量】。

【薛定鄂猫】和【牛顿无穷小量⚪】都是面对现实世界的，本来就可以和其它海量现实世界的【不以意识心为转移的客观实在】一样，不是【形式逻辑王国】的【臣民】，因此就完全可以不受【形式逻辑】的管辖。

  来吧！【薛定鄂猫】和【牛顿无穷小量⚪】，【现代泛系最大似然逻辑王国】和【现代泛系人性化逻辑-r逻辑王国】热烈欢迎你们！你们在这里完全没有所谓的悖论！你们所描述的客观实在完全符合【现代泛系最大似然逻辑】和【现代泛系人性化逻辑-r逻辑】的【思维法则】。

（四）【结论】

  按【现代泛系复杂逻辑】的【思维法则】来看，【牛顿无穷小量⚪】和【薛定鄂猫】一样，都是对客观实在【符合逻辑】的【完美描述】。【贝克莱主教的批评】、【柯西】和【丁小平】的工作，都将被历史证明是多余而【没有功劳有苦劳】的【有益探索】，为【后来人如在下者】认识事情的真相提供了不同的视野。

【1】https://baike.baidu.com/item/%E8%B4%9D%E5%85%8B%E8%8E%B1%E6%82%96%E8%AE%BA/2482725

【2】https://wenku.baidu.com/view/1da252e2b4daa58da1114a4b.html

【附录1】

【贝克莱悖论】的【现代泛系空花解悖法】详解

美国归侨冯向军博士

2018/8/31

（一）【贝克莱悖论】

牛顿原始的求【导数】或【流数】的方法是：

(f(x+Δx）-f(x))/Δx = F(x，Δx）|令Δx=0 = df/dx（1）

这其中，x是自变量，Δx是自变量的增量，f(x)是函数f在自变量=x时的函数值。(f(x+Δx）-f(x))是对应于自变量的增量Δx的函数f的值的增量。df/dx就是函数f(x)在x处的【导数】或【流数】。

【举例】

当f(x)=x^2,

((x+Δx）^2-x^2)/Δx =（2x+Δx）|令Δx=0 = df/dx   (2)

df/dx= 2x    (3)

所谓【贝克莱悖论】就是指式（1）的第一个等号左边的Δx不等于零而第一个等号右边的Δx=0 。

（二）【贝克莱悖论现代泛系空花解悖法】

牛顿无穷小量⚪=广义的薛定鄂猫=冯向军泛有序对（【零】，【非零】）=0.5【零】+0.5【非零】   （4）

当牛顿无穷小量⚪引起任何非零变化时，牛顿无穷小量⚪必定坍缩成【非零】或某个非零的数。   （5）

当牛顿无穷小量⚪不引起任何非零变化时，牛顿无穷小量⚪必定坍缩为【零】或零这个数。   （6）

牛顿无穷小量⚪正好比虚空中的花或空花。当在虚空中引起非零变化时，空花就坍缩成其虚幻的存在：空花那花；当在虚空中不引起非零变化时，空花就坍缩成其实体、实在或真身：空。

非零变化是指事物T的状态从A变到了B ，B不等于A。

牛顿无穷小量⚪引起非零变化是指让事物T的状态从A变到了B ，B不等于A。

牛顿无穷小量⚪引起非零变化也可以说是引起了非零变化的【尚未定型的结局】。

当事物T处于从A变到B 的变化过程中时，或结局B尚未形成时，牛顿无穷小量⚪引起了非零变化。但是一旦事物T业已固定在结局B，或变化的结局业已定型在B时，牛顿无穷小量⚪就应该认为不再引起非零变化了，否则变化的结局就还没有定型。

在（1）式的第一个等号左边，作为牛顿无穷小量⚪的Δx引起了非零变化的【尚未定型的结局】：

(f(x+Δx）-f(x))/Δx

因此，就应该认为作为牛顿无穷小量⚪的Δx引起了非零变化。这时，按式（5），Δx必定坍缩成【非零】或某个非零的数。

在（1）式的第一个等号右边，作为牛顿无穷小量⚪的Δx所引起的非零变化业已定型。因此，就要认为作为牛顿无穷小量⚪的Δx不再引起非零变化。这时，按式（6），Δx必定坍缩成【零】或零这个数。

【贝莱克悖论】在【现代泛系】看来不是悖论。

【备考】

建立在【牛顿极限概念】上的【现代泛系极限概念】

美国归侨冯向军博士

2018/8/31

  【内容提要】：【现代泛系极限概念】的【关键要害】是把传统的【无限逼近】概念，转化为【作为广义的薛定鄂猫或冯向军泛有序对】的【牛顿无穷小量⚪】的二元对立的坍缩态的概念。看似和传统求极限的方法，包括求导数的方法极为相似，但是却从根本上消除了【贝克莱悖论】！是对【牛顿原始极限概念和求导法】的【完全合理性】和【无悖性】的【现代泛系论证】。

  牛顿说【1】：“两个量和量之比，如果在有限时间内不断趋于相等，且在这一时间终止前互相靠近，使得其差小于任意给定的差，则最终就成为相等。”

  牛顿的朴素的极限概念有着与后继者截然不同的光辉思想。

（1）函数f(t）在随时间t的变化过程中(在有限的时间终止前），只能无限靠近其极限A，而不能等于其极限A。

（2）函数f(t）在【随时间t的变化而无限靠近其极限A】这一过程结束时（最终），就将等于其极限A。

  未坍缩的牛顿无穷小量⚪是一只广义的薛定鄂猫或冯向军泛有序对：

  冯向军泛有序对（【零】，【非零】）= 0.5【零】+0.5【非零】  （1）

  坍缩状态的牛顿无穷小量⚪要么处于【零】态，要么处于【非零】态。

  当牛顿无穷小量⚪引起任何变化时，就坍缩成【非零】态或某个非零的数。

  当牛顿无穷小量⚪不引起任何变化时，就坍缩成【零】态或零这个数。

  所以,就可以給出【现代泛系极限概念】的定义。

  【现代泛系极限概念定义】：

  当自变量x趋近于x0时，f(x)的极限为A等价于：

   当|x-x0|是处于坍缩状态的牛顿无穷小量⚪时，|f(x)-A|也必定是处于同类坍缩状态的牛顿无穷小量⚪：当|x-x0|因为还在变化而坍缩成【非零】，|f(x)-A|也必定坍缩成【非零】，而当|x-x0|因变化结束而坍缩成零时，|f(x)-A|也必定坍缩成【零】。

【例1】

  当x趋近于3，x²的极限的是9。

  这是因为当|x-3|是处于坍缩状态的牛顿无穷小量⚪时，|x²-9|也必定是处于同类坍缩状态的牛顿无穷小量⚪：当|x-3|因为还在变化而坍缩成【非零】，|x²-9|必定也坍缩成【非零】，而当|x-3|因变化结束而坍缩成零时，|x²-9|也必定坍缩成【零】。

 【定理1】定义导数df/dx是 (f(x+Δx)-f(x))/Δx，在Δx趋近于零的极限。这就意味着：导数df/dx必须是按牛顿原始求导数法或求流数法所求出的导数。或者说：

df/dx=F（x,Δx)|令Δx=0，这其中，F（x,Δx)=(f(x+Δx)-f(x))/Δx，是(f(x+Δx)-f(x))/Δx的最终态。

证明：

因为df/dx是 (f(x+Δx)-f(x))/Δx，在Δx趋近于零的极限，所以：

 当|Δx-0|是处于坍缩状态的牛顿无穷小量⚪时，|(f(x+Δx)-f(x))/Δx-df/dx|也必定是处于同类坍缩状态的牛顿无穷小量⚪：当|Δx-0|因为还在变化而坍缩成【非零】，|(f(x+Δx)-f(x))/Δx-df/dx|也必定坍缩成【非零】，这时，df/dx不等于(f(x+Δx)-f(x))/Δx）。

但是，当|Δx-0|因变化结束而坍缩成零时，|(f(x+Δx)-f(x))/Δx-df/dx|的最终态也必定坍缩成【零】。此时

df/dx=（f(x+Δx)-f(x))/Δx，（f(x+Δx)-f(x))/Δx=最终态F（x,Δx)，而Δx=0。

因此：导数df/dx必须是按牛顿原始求导数法或求流数法所求出的导数。或者说：

df/dx=F（x,Δx)|令Δx=0，这其中，F（x,Δx)=(f(x+Δx)-f(x))/Δx，是(f(x+Δx)-f(x))/Δx的最终态。

【证毕】

【定理2】可按如下方法求极限：

如果x-x0因为还在变化而不等于零，就有|f(x)-A|不等于零。如果|f(x)-A| |令x=x0 = 0，则当x趋近于x0时，f(x)的极限等于A。

证明：

如果x-x0因为还在变化而不等于零，就有|f(x)-A|不等于零。如果|f(x)-A| |令x=x0 = 0。这就意味着:

  当|x-x0|是处于坍缩状态的牛顿无穷小量⚪时，|f(x)-A|也必定是处于同类坍缩状态的牛顿无穷小量⚪：当|x-x0|因为还在变化而坍缩成【非零】，|f(x)-A|也必定坍缩成【非零】，而当|x-x0|因变化结束而坍缩成零时，|f(x)-A|也必定坍缩成【零】。所以按定义，当x趋近于x0时，f(x)的极限等于A。

【证毕】

【举例】

当x趋近于5时，x²+3 的极限等于多少？

因为当|x-5|还在变化而不等于零，就有|x²+3-28|不等于零。又因为|x²+3-28| |令x=5 = 0，所以当x趋近于5时，x²+3 的极限等于28。

【无穷小的定义】：当自变量x趋近于x0时，f(x)的极限为0，则称当自变量x趋近于x0时，f(x）的极限为无穷小。无穷小不是【牛顿无穷小量⚪】，因为无穷小所涉及的全部都是坍缩态的【牛顿无穷小量⚪】，与未坍缩时的【牛顿无穷小量⚪】不是一回事。

【无穷大的定义】：当自变量x趋近于x0时，1/f(x)的极限为0，则称当自变量x趋近于x0时，f(x）的极限为无穷大。当自变量的倒数1/x趋近于0，就说x趋近于无穷大。

【微分的定义】微分dy=(df/dx)Δx。这其中y=f(x)，df/dx是函数f的导数,Δx是自变量的增量。因为dx=(dx/dx)Δx=Δx,所以dx=Δx,dy=(df/dx)dx。函数的微分与自变量的微分之比dy/dx=函数f的导数=df/dx。

【举例】

y=f(x)=x³。df/dx=3x²。微分dy=(df/dx)dx=3x²dx。

  【现代泛系极限概念】的【关键要害】是把【无限逼近】概念，转化为牛顿无穷小量的二元对立的坍缩态的概念。

【备考】按【现代泛系极限概念】，导数df/dx必须是按牛顿原始求导数法或求流数法所求出的导数。根本没有所谓的【贝克莱悖论】。

【1】https://www.xzbu.com/4/view-13807.htm

【附录2】

什么叫相互【无限逼近】？---对现行微积分的拨乱反正

美国归侨冯向军博士

2018/9/2

  平常，人们头脑里有两个概念。一个叫做相互【合一】，另一个则叫做相互【无限逼近】。

  相互【合一】，人们普遍认为很好理解，相互【合一】就是彼此变得【等同】的意思。

  但是，对于相互【无限逼近】，人们则总觉得似懂非懂，好象理解了，又好象没理解。

  本文因此对相互【无限逼近】給出精确定义。

  相互【无限逼近】的【现代泛系】定义：

  A与非A之间的相互【无限逼近】，是指A与非A同时达到了A与非A之间的界面的中线---【零界】。 【零界】既不纯属于A也不纯属于非A,而是A与非A的最大似然【现代泛系叠加态】：广义的薛定鄂猫或冯向军泛有序对。

A与非A的【零界】=冯向军泛有序对=0.5A+0.5非A   （1）

当A与非A相互无限逼近，就有：

A=【零界】=冯向军泛有序对=0.5A+0.5非A   （2）

非A=【零界】=冯向军泛有序对=0.5A+0.5非A   （3）

A=非A   (4)

当A【无限逼近】非A时，是A与非A相互【无限逼近】。

当非A【无限逼近】A时，也是A与非A相互【无限逼近】。

当A与非A彼此【无限逼近】时，当然还是A与非A相互【无限逼近】。

【例1】

当Δx【无限逼近】零，就是作为非零的Δx与零相互【无限逼近】。因此就有：

Δx=零与非零的【零界】=冯向军泛有序对=0.5零+0.5非零   

Δx=【牛顿无穷小量⚪】。

当Δx【无限逼近】零而引起任何变化时，就坍缩成非零或某个非零的数。

当Δx【无限逼近】零而不再引起任何变化时，就坍缩成零或零这个数。

【例2】

  现行微积分的极限概念并不包含【现代泛系】中的相互【无限逼近】。

  现行微积分对极限的定义是：

  设函数  在点  的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数  

（无论它多么小），总存在正数 ，使得当x满足不等式  时，对应的函数值  

都满足不等式：那么常数A就叫做函数  当  时的极限，记作

  在现行微积分对极限的定义中，自变量x永远达不到与x₀的【零界】，而函数f(x)也永远达不到与A的【零界】。

  现行微积分的极限概念所包含的“无限逼近”是“彼此永远都在自己的世界内”意义下的“无限逼近”。

【附录】

试用中俄两国界碑的中线来理解【牛顿无穷小量⚪】

美国归侨冯向军博士

2018/9/1

  当量Δx，按平常的人们的理解，【无限逼近零】时，就相当于Δx处在中(【非零】)俄(【零】)两国界碑的中线上。未到两国界碑的中线都不算无限逼近，而过了界碑的中线就又不是无限逼近（【零】）而是达到（单纯的【零】）或与单纯的【零】合一了。因此【无限逼近】不是【不确定状态】，而是【确定性的最复杂状态】或确定性的复杂程度最大的状态。

  这个中(【非零】)俄(【零】)两国界碑中线就是【牛顿无穷小量⚪】。

  中俄两国界碑中线=0.5中+0.5俄   （1）

  【牛顿无穷小量⚪】=0.5【非零】+0.5【零】   （2）

 【牛顿无穷小量⚪】既不是【复杂程度为零的非零】，也不是【复杂程度为零的零】，而是复杂程度最大的【零与非零的现代泛系叠加态】。