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《关于决定性事件的概率论》第三章冯向军泛有序对
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关于决定性事件的概率论第三章
关于决定性事件的概率论第三章
第三章冯向军泛有序对
（2017年9月4日）
§3.1 冯向军泛有序对的定义
§3.1.1泛有序对(A，B)的定义
如果在一切条件下A和B互相包含，则称A和B无条件等价。泛有序对(A，B)是定义了无条件等价关系的抽象有序结构。如果A和C无条件等价，B和D无条件等价，则
(A，B) = (C，D)。反之亦然。泛有序对(A，B)具有如下基本性质：
（1）不给定条件时具有无指向性，这其中指向的含义包括目标方向和所对方位。
（2）条件不完备时具有不确定性。
（3）条件完备时具有确定性或决定性。
§3.1.2 泛有序对举例
不给定任何条件的抽象的(A，B)无指向。
（博士，美国归侨）含义不确定。
中国科学网上的(冯向军博士，冯向军美国归侨)含义确定。
§3.1.3 冯向军泛有序对(A，非A)的定义
在泛有序对(A，B)中，若B是定义在传统逻辑非上的A的对立面，或B = 非A，则称泛有序对(A，B)为冯向军泛有序对(A，非A)。
冯向军泛有序对具有如下基本性质：
（1）不给定条件时具有无指向性，这其中指向的含义包括目标方向和所对方位。
（2）条件不完备时具有不确定性。
（3）条件完备时具有确定性或决定性。
（4）当所指条件是指冯向军泛有序对是关于对立双方A与非A的函数f(A，非A)这种函数关系时，冯向军泛有序对就是关于对立双方A与非A的函数f(A，非A)。当A与非A是相互垂直的具有广义方向的单位向量，而函数f(A，非A)是关于对立双方A与非A的线性组合时，冯向军泛有序对(A，非A）=aA+b非A 就是以A与非A为基底所构成的二维正交坐标系中的广义向量。当a=p1和b=p2是科尔莫哥洛夫概率时，冯向军泛有序对(A，非A)= p1A+p2非A=(p1，p2) 就是具有概率分布p1和p2的二元广义系统。当p1=p2=0.5时，冯向军泛有序对(A，非A)= 0.5A + 0.5非A=(0.5，0.5) 就是具有最大发生概率的最大似然冯向军泛有序对。一般而言，作为广义向量和广义系统的冯向军泛有序(A，非A）都是以对立双方同时存在作为存在的前提的。
§3.2 基本定理：在无任何非自然约束条件的大自然或自在中，吴学谋泛系
(A，B)【1-8】，在人类的意识中，唯一真实不虚的存在形式就是最大似然冯向军泛有序对(A，非A)，其余都不可能发生。
证明：在人类的意识中，一切都是相对而在的。对于吴学谋泛系(A，B)中的一切人类的意识可达的关于广义方向A的含义的解释，都有与之垂直、正交或对立的广义方向非A存在。假设A与非A被规范成单位向量（即具有广义方向而大小为1的量），那么以A与非A为单位向量就构成二维广义正交坐标系。吴学谋泛系(A，B)中的任何B，经归一化处理，均可表达为A与非A所构成的二维广义正交坐标系中的归一化广义向量。
B = p1A + p2非A
这其中p1, p2分别是B在以A与非A为单位向量所构成的广义坐标轴上的坐标或投影。也分别是B在A与非A所在的广义方向上的隶属度或概率。概率分布p1，p2符合柯尔莫哥洛夫公理化概率定义中对概率的三要求，即：非负性，规范性和可加性。考察作为归一化广义向量的泛系(A，B），就有
泛系(A，B）= （1 + p1)/2 A + p2/2非A
于是泛系(A，B）得以发生的发生概率Pk为：
Pk = 1/4 *(1 + p1) * p2 = 1/4 *（1 + p1） * (1 - p1)
Pk = 1/4 *（1 - p12）
按最大概率公理，在无任何非自然约束条件的大自然或自在中，要使泛系(A，B）得以发生，其发生概率Pk必须最大。所以必有：
p1 = 0, p2 = 1 -p1 = 1,
B = 非A，
泛系(A，B）= 最大似然冯向军泛有序对(A，非A）= 0.5A + 0.5非A。
这也就是说：在无任何非自然约束条件的大自然或自在中，吴学谋泛系(A，B)，在人类的意识中，唯一真实不虚的存在形式就是最大似然冯向军泛有序对(A，非A)，其余都不可能发生。
基本定理证毕。
§3.3 冯向军平等遍历定律：在无任何非自然约束条件和一切约束条件下，作为吴学谋泛系(A，B)的事物都在最大程度上以最大似然冯向军泛有序对(A，非A)为吸引中心或者说在最大程度上归顺于或趋向于平等遍历对立双方的最大似然冯向军泛有序对(A，非A)。这种对最大似然冯向军泛有序对(A，非A)的归顺或趋向，当且仅当在无任何非自然约束条件下达到圆满或完美：作为吴学谋泛系(A，B)的事物彻底变成了平等遍历对立双方的最大似然冯向军泛有序对(A，非A)。
§3.4 在一种真实对立意义下冯向军泛有序对无对立面
直接根据最大概率公理从吴学谋泛系(A，B)出发所推导出来的冯向军泛有序对
（A，非A），有在吴学谋泛系(A，B)中独一无二的完美特性：在一种真实对立意义下有且仅有冯向军泛有序对无对立面。对吴学谋泛系(A，B)定义非操作NOT
NOT(A，B) = (notB，notA) = (非B，非A） （3.4 - 1）
NOT 可以理解为让吴学谋泛系“序位颠倒，内容对立”的一种传统逻辑非操作。not等同于传统逻辑中的非。在吴学谋泛系中，有且仅有冯向军泛有序对(A，非A)对于这种传统逻辑非操作NOT具有保守性或不变性。或者说在吴学谋泛系中，有且仅有冯向军泛有序对(A，非A)在NOT这种真实对立意义下无对立面。这是因为按（3.4 - 1）定义式，
NOT(A，B) = (A，B), 当且仅当 B = 非A，从而非B = 非(非A）= A
或者说：
NOT(A，B) = (A，B),当且仅当吴学谋泛系(A，B) = 冯向军泛有序对(A，非A)
§3.5 冯向军泛有序对(A，非A)的重要特性：广义纠缠
§3.5.1广义纠缠
冯向军泛有序对的最本质特性是相互垂直、相互正交、相互对立、相互不相容的两个广义方向A与非A互联互导互转互生互克:泛系五互【1-8】而构成一不可分割的整体:最大似然冯向军泛有序对(A，非A)。这个最本质特性就叫广义纠缠。
定义3.5.1-1冯向军泛有序对(A，非A)中的A和非A互联互导互转互生互克而成为一个不可分割的整体，这种特性就叫做广义纠缠。
定义3.5.1-2 冯向军泛有序对(A，非A)中的A和非A是同一个整体中的A和非A，不再是孤立状态的A和非A。定义：|A》为整体中的A，而|非A》为整体中的非A。
§3.5.2 根本定理：在最大似然冯向军泛有序对(A，非A)整体中，|A》与|非A》的广义纠缠达到了极致：|A》不异|非A》，|非A》不异|A》；|A》即是|非A》，|非A》即是|A》。
证明：在最大似然冯向军泛有序对(A，非A)整体中，同时空平等的|A》与|非A》的性和相“互杀”、“互盗”【3-1】、互相决斗、同归于尽而归于最大似然冯向军泛有序对(A，非A)或所谓所谓叠加态：0.5A + 0.5非A。由于"互杀"，孤立的对立双方A与非A同归于尽。由于"互盗"，整体中的|A》与|非A》同时空成为最大似然冯向军泛有序对(A，非A)或所谓叠加态：0.5A + 0.5非A。所以：
|A》= |非A》= 最大似然冯向军泛有序对(A，非A) = 对立面NOT(A, 非A） （3.5-1）
这也就是说：在最大似然冯向军泛有序对(A，非A)整体中，|A》与|非A》的广义纠缠达到了极致：|A》不异|非A》，|非A》不异|A》；|A》即是|非A》，|非A》即是|A》。
证毕。
§3.5.3 举例
|缘起》= |性空》，这也就是说在最大似然冯向军泛有序对(缘起，性空)整体中的
|缘起》与|性空》的广义纠缠达到了极致：|缘起》不异|性空》，|性空》不异
|缘起》；|缘起》即是|性空》，|性空》即是|缘起》。
|色》= |空》，这也就是说在最大似然冯向军泛有序对(色，空)整体中的|色》与|空》的广义纠缠达到了极致：|色》不异|空》，|空》不异|色》；|色》即是|空》，|空》即是|色》。
|有》= |无》，这也就是说在最大似然冯向军泛有序对(有，无)整体中的|有》与|无》的广义纠缠达到了极致：|有》不异|无》，|无》不异|有》；|有》即是|无》，|无》即是|有》。
|无为》= |有为》，这也就是说在最大似然冯向军泛有序对(无为，有为)整体中的|无为》与|有为》的广义纠缠达到了极致：|无为》不异|有为》，|有为》不异|无为》；|无为》即是|有为》，|有为》即是|无为》。
|心》= |物》，这也就是说在最大似然冯向军泛有序对(心，物)整体中的|心》与|物》的广义纠缠达到了极致：|心》不异|物》，|物》不异|心》；|心》即是|物》，|物》即是|心》。
|灵》= |肉》，这也就是说在最大似然冯向军泛有序对(灵，肉)整体中的|灵》与|肉》的广义纠缠达到了极致：|灵》不异|肉》，|肉》不异|灵》；|灵》即是|肉》，|肉》即是|灵》。
|生》= |死》，这也就是说在最大似然冯向军泛有序对(生，死)整体中的|生》与|死》的广义纠缠达到了极致：|生》不异|死》，|死》不异|生》；|生》即是|死》，|死》即是|生》。
|生》= |杀》，这也就是说在最大似然冯向军泛有序对(生，杀)整体中的|生》与|杀》的广义纠缠达到了极致：|生》不异|杀》，|杀》不异|生》；|生》即是|杀》，|杀》即是|生》。
|生》= |克》，这也就是说在最大似然冯向军泛有序对(生，克)整体中的|生》与|克》的广义纠缠达到了极致：|生》不异|克》，|克》不异|生》；|生》即是|克》，|克》即是|生》。
|敌》= |我》，这也就是说在最大似然冯向军泛有序对(敌，我)整体中的|敌》与|我》的广义纠缠达到了极致：|敌》不异|我》，|我》不异|敌》；|敌》即是|我》，|我》即是|敌》。
|矛》= |盾》，这也就是说在最大似然冯向军泛有序对(矛，盾)整体中的|矛》与|盾》的广义纠缠达到了极致：|矛》不异|盾》，|盾》不异|矛》；|矛》即是|盾》，|盾》即是|矛》。
|正》= |反》，这也就是说在最大似然冯向军泛有序对(正，反)整体中的|正》与|反》的广义纠缠达到了极致：|正》不异|反》，|反》不异|正》；|正》即是|反》，|反》即是|正》。
|自》= |他》，这也就是说在最大似然冯向军泛有序对(自，他)整体中的|自》与|他》的广义纠缠达到了极致：|自》不异|他》，|他》不异|自》；|自》即是|他》，|他》即是|自》。
|我》= |人》，这也就是说在最大似然冯向军泛有序对(我，人)整体中的|我》与|人》的广义纠缠达到了极致：|我》不异|人》，|人》不异|我》；|我》即是|人》，|人》即是|我》。
|阴》= |阳》，这也就是说在最大似然冯向军泛有序对(阴，阳)整体中的|阴》与|阳》的广义纠缠达到了极致：|阴》不异|阳》，|阳》不异|阴》；|阴》即是|阳》，|阳》即是|阴》。
|虚》= |实》，这也就是说在最大似然冯向军泛有序对(虚，实)整体中的|虚》与|实》的广义纠缠达到了极致：|虚》不异|实》，|实》不异|虚》；|虚》即是|实》，|实》即是|虚》。
|因》= |果》，这也就是说在最大似然冯向军泛有序对(因，果)整体中的|因》与|果》的广义纠缠达到了极致：|因》不异|果》，|果》不异|因》；|因》即是|果》，|果》即是|因》。
|是》= |非》，这也就是说在最大似然冯向军泛有序对(是，非)整体中的|是》与|非》的广义纠缠达到了极致：|是》不异|非》，|非》不异|是》；|是》即是|非》，|非》即是|是》。
|真》= |假》，这也就是说在最大似然冯向军泛有序对(真，假)整体中的|真》与|假》的广义纠缠达到了极致：|真》不异|假》，|假》不异|真》；|真》即是|假》，|假》即是|真》。
|美》= |丑》，这也就是说在最大似然冯向军泛有序对(美，丑)整体中的|美》与|丑》的广义纠缠达到了极致：|美》不异|丑》，|丑》不异|美》；|美》即是|丑》，|丑》即是|美》。
|善》= |恶》，这也就是说在最大似然冯向军泛有序对(善，恶)整体中的|善》与|恶》的广义纠缠达到了极致：|善》不异|恶》，|恶》不异|善》；|善》即是|恶》，|恶》即是|善》。
|苦》= |乐》，这也就是说在最大似然冯向军泛有序对(苦，乐)整体中的|苦》与|乐》的广义纠缠达到了极致：|苦》不异|乐》，|乐》不异|苦》；|苦》即是|乐》，|乐》即是|苦》。
|成》= |败》，这也就是说在最大似然冯向军泛有序对(成，败)整体中的|成》与|败》的广义纠缠达到了极致：|成》不异|败》，|败》不异|成》；|成》即是|败》，|败》即是|成》。
|波》= |粒》，这也就是说在最大似然冯向军泛有序对(波，粒)整体中的|波》与|粒》的广义纠缠达到了极致：|波》不异|粒》，|粒》不异|波》；|波》即是|粒》，|粒》即是|波》。
|动》= |静》，这也就是说在最大似然冯向军泛有序对(动，静)整体中的|动》与|静》的广义纠缠达到了极致：|动》不异|静》，|静》不异|动》；|动》即是|静》，|静》即是|动》。
|纯》= |杂》，这也就是说在最大似然冯向军泛有序对(纯，杂)整体中的|纯》与|杂》的广义纠缠达到了极致：|纯》不异|杂》，|杂》不异|纯》；|纯》即是|杂》，|杂》即是|纯》。
|简》= |繁》，这也就是说在最大似然冯向军泛有序对(简，繁)整体中的|简》与|繁》的广义纠缠达到了极致：|简》不异|繁》，|繁》不异|简》；|简》即是|繁》，|繁》即是|简》。
|宏》= |微》，这也就是说在最大似然冯向军泛有序对(宏，微)整体中的|宏》与|微》的广义纠缠达到了极致：|宏》不异|微》，|微》不异|宏》；|宏》即是|微》，|微》即是|宏》。
|局》= |整》，这也就是说在最大似然冯向军泛有序对(局，整)整体中的|局》与|整》的广义纠缠达到了极致：|局》不异|整》，|整》不异|局》；|局》即是|整》，|整》即是|局》。
|异》= |同》，这也就是说在最大似然冯向军泛有序对(异，同)整体中的|异》与|同》的广义纠缠达到了极致：|异》不异|同》，|同》不异|异》；|异》即是|同》，|同》即是|异》。
|不确定》= |确定》，这也就是说在最大似然冯向军泛有序对(不确定，确定)整体中的|不确定》与|确定》的广义纠缠达到了极致：|不确定》不异|确定》，|确定》不异|不确定》；|不确定》即是|确定》，|确定》即是|不确定》。
|一》= |一切》，这也就是说在最大似然冯向军泛有序对(一，一切)整体中的|一》与|一切》的广义纠缠达到了极致：|一》不异|一切》，|一切》不异|一》；|一》即是|一切》，|一切》即是|一》。
|对立》= |统一》，这也就是说在最大似然冯向军泛有序对(对立，统一)整体中的|对立》与|统一》的广义纠缠达到了极致：|对立》不异|统一》，|统一》不异|对立》；|对立》即是|统一》，|统一》即是|对立》。
|约束》= |自由》，这也就是说在最大似然冯向军泛有序对(约束，自由)整体中的|约束》与|自由》的广义纠缠达到了极致：|约束》不异|自由》，|自由》不异|约束》；|约束》即是|自由》，|自由》即是|约束》。
|舍》= |得》，这也就是说在最大似然冯向军泛有序对(舍，得)整体中的|舍》与|得》的广义纠缠达到了极致：|舍》不异|得》，|得》不异|舍》；|舍》即是|得》，|得》即是|舍》。
|爱》= |恨》，这也就是说在最大似然冯向军泛有序对(爱，恨)整体中的|爱》与|恨》的广义纠缠达到了极致：|爱》不异|恨》，|恨》不异|爱》；|爱》即是|恨》，|恨》即是|爱》。
|圣》= |凡》，这也就是说在最大似然冯向军泛有序对(圣，凡)整体中的|圣》与|凡》的广义纠缠达到了极致：|圣》不异|凡》，|凡》不异|圣》；|圣》即是|凡》，|凡》即是|圣》。
|短命》= |长寿》，这也就是说在最大似然冯向军泛有序对(短命，长寿)整体中的|短命》与|长寿》的广义纠缠达到了极致：|短命》不异|长寿》，|长寿》不异|短命》；|短命》即是|长寿》，|长寿》即是|短命》。
|贫穷》= |富贵》，这也就是说在最大似然冯向军泛有序对(贫穷，富贵)整体中的|贫穷》与|富贵》的广义纠缠达到了极致：|贫穷》不异|富贵》，|富贵》不异|贫穷》；|贫穷》即是|富贵》，|富贵》即是|贫穷》。
|多病》= |健康》，这也就是说在最大似然冯向军泛有序对(多病，健康)整体中的|多病》与|健康》的广义纠缠达到了极致：|多病》不异|健康》，|健康》不异|多病》；|多病》即是|健康》，|健康》即是|多病》。
|高》= |低》，这也就是说在最大似然冯向军泛有序对(高，低)整体中的|高》与|低》的广义纠缠达到了极致：|高》不异|低》，|低》不异|高》；|高》即是|低》，|低》即是|高》。
|远》= |近》，这也就是说在最大似然冯向军泛有序对(远，近)整体中的|远》与|近》的广义纠缠达到了极致：|远》不异|近》，|近》不异|远》；|远》即是|近》，|近》即是|远》。
|沉》= |浮》，这也就是说在最大似然冯向军泛有序对(沉，浮)整体中的|沉》与|浮》的广义纠缠达到了极致：|沉》不异|浮》，|浮》不异|沉》；|沉》即是|浮》，|浮》即是|沉》。
|涨》= |跌》，这也就是说在最大似然冯向军泛有序对(涨，跌)整体中的|涨》与|跌》的广义纠缠达到了极致：|涨》不异|跌》，|跌》不异|涨》；|涨》即是|跌》，|跌》即是|涨》。
§3.6 不改变前提如何让罗素悖论自圆其说？
理发师给且只给村里所有不为自己刮脸的人刮脸。问理发师给自己刮脸还是不给自己刮脸？如果理发师给自己刮脸，那与理发师只给村里所有不为自己刮脸的人刮脸相矛盾，结果是：理发师就应该不给自己刮脸。如果理发师不给自己刮脸，根据理发师给村里所有不为自己刮脸的人刮脸的承诺，理发师就应该给自己刮脸。这就是数学史上有名的罗素悖论。数学家们用公理化的集合论强行排除了这个悖论。
但是以《关于决定性事件的概率论》的观点来看，罗素悖论何悖之有？根本就是符合大自然的自然规律：最大发生概率公理的大自然最偏爱的选择。让我们请出国际主流科学界著名的薛定鄂猫来说句公道话吧：
尊敬的罗素先生：我薛定鄂猫既是活的，又完全平等地是死的。我都堂而皇之大摇大摆地作为物质的量子基元进入了现代自然科学的殿堂。您难道还不允许理发师是给自己刮脸的人又完全平等地是不给自己刮脸的人吗？
只要允许每个人按自然规律：最大发生概率公理有以广义量子叠加态存在的权力，罗素悖论就根本不存在。这个广义量子叠加态就是：允许理发师是给自己刮脸的人又完全平等地是不给自己刮脸的人。
定理：在无任何非自然约束条件的大自然或大自在中，罗素悖论根本不存在。罗素理发师的存在形式是大自然的必然选择。
证明：我们把罗素悖论中的理发师称为罗素理发师，并把罗素理发师记为泛系
（A，B）。B可表达为A与非A所构成的二维广义正交坐标系中的归一化广义向量。
B = p1A + p2非A （3.6-1）
这其中A是代表广义方向的单位向量：不给自己刮脸的人，非A是代表与A所代表的广义方向对立的广义方向或单位向量：给自己刮脸的人，p1, p2分别是B在以A与非A为单位向量所构成的广义坐标轴上的坐标或投影，也分别是B在A与非A所在的广义方向上的隶属度或概率。概率分布p1，p2符合柯尔莫哥洛夫公理化概率定义中对概率的三要求，即：非负性，规范性和可加性。考察作为归一化广义向量的泛系(A，B），就有
泛系(A，B）= （1 + p1）/2 A + p2/2非A
按柯尔莫哥洛夫公理化概率定义，有泛系(A，B）得以发生的发生概率Pk为：
Pk = P(A) * P(非A/A）
Pk = 1/4 *(1 + p1) * p2 = 1/4 *（1 + p1） * (1 - p1)
Pk = 1/4 *（1 - p12）
按最大概率公理，在无任何非自然约束条件的大自然或自在中，要使泛系(A，B）得以发生，其发生概率Pk必须最大。所以必有：
p1 = 0, p2 = 1 -p1 = 1,
B = 非A，
罗素理发师泛系（A，B）= 最大似然冯向军泛有序对(A，非A)。
罗素理发师泛系(A，B）= 0.5 A + 0.5非A （1-2）
这也就是说：在无任何非自然约束条件的大自然或大自在中，罗素悖论根本不存在。罗素理发师的存在形式：平等遍历不给自己刮脸的人和给自己刮脸的人是大自然根据最大概率公理所作出的必然选择。
证毕。
§3.6.1[附录】罗素悖论较为严谨的表达【3-2】
定义：
M：所有包含集合自身M的集合；
N：所有不包含集合自身N的集合；
问：N∈M还是∈N。
首先，N不是空集。因为如果N是空集，N是任何非空集合的真子集，就有空集属于{空集}：N属于{N}，N属于包含集合自身N的集合，而按N的定义，N是所有不包含集合N自身的集合。N不属于包含集合自身N的集合。矛盾。
如果N ∈M ，说明N 具备M 的特征，根据M 的定义，N 包含集合自身N，但这和N 的定义矛盾；如果N ∈N ，说明N 具备包含自己的特征，这与N 的定义矛盾；但N也不是空集。
于是，悖论产生。
§3.7 哥德尔不完备定理的冯向军泛有序对之表达
哥德尔第一定理：任何一个相容的数学形式化理论中，只要它强到足以蕴涵皮亚诺算术公理，施加于其中的任何约束条件(如不断增加的公理等）就都约束不住作为冯向军泛有序对的命题S被构造出来：
命题S = 冯向军泛有序对（A，非A）
命题S = 冯向军泛有序对（非a，非非a）
命题S = (不能被证真，不能被证伪） (3.7-1）
哥德尔第二定理：任何相容的形式体系，或消除了一切已知的以冯向军泛有序对
（A，非A）的形式存在的不相容性的形式体系，都不能用于证明它本身的相容性：本身不再存在任何以冯向军泛有序对（A，非A）的形式存在的不相容性。
§3.7.1 再重新表述哥德尔二定理
哥德尔第一定理：任何一个相容的数学形式化理论中，只要它强到足以蕴涵皮亚诺算术公理，就找不到一种非自然约束条件能确保非此即彼的二分性的发生概率：零概率就是最大发生概率，总有发生概率大于零的作为冯向军泛有序对的命题S被构造出来：
命题S = 冯向军泛有序对（A，非A）
命题S = 冯向军泛有序对（非a，非非a）
命题S = (不能被证真，不能被证伪）
哥德尔第二定理：任何相容的形式体系，或消除了一切已知的发生概率大于零的事件：以冯向军泛有序对（A，非A）的形式存在的不相容性的形式体系，都不能用于证明它本身的相容性：本身不再存在任何发生概率大于零的事件：以冯向军泛有序对（A，非A）的形式存在的不相容性。
哥德尔定理的关键和要害是：公开承认，包含初等数论的形式体系想要违反自然规律，彻底铲除发生概率大于零的事件：作为冯向军泛有序对（A，非A）的各种对发生概率等于零的非此即彼的二分性的违背，是不可能的。
§3.8 费米子与冯向军泛有序对
§3.8.1 费米分布的实质
在一组由全同粒子组成的体系中，如果在体系的一个量子态（即由一套量子数所确定的微观状态）上只容许容纳一个粒子，这种粒子称为费米子。或者说自旋为半奇数（1/2，3/2…）的粒子统称为费米子【3-3】，服从费米-狄拉克统计或费米分布。费米分布的实质是【3-4】能量为E的某个量子态被占概率与未被占概率之比x服从经典玻尔兹曼分布。x = Aexp(-E/(kT))。
§3.8.2 试用无拉格朗日乘数法的最大玻尔兹曼熵原理推导费米分布
假设费米子系统在N次实验中，某量子态被占领的次数为n1而未被占领的次数为n2。n1 + n2 = N。以上抽象的统计数学假设避免了二义性又符合概率的统计定义。这时系统微观组合状态总数W(也就是N次实验中实现某量子态被占领的次数为n1而未被占领的次数为n2的具体方法总数）满足下式：
W = N！/ (n1!n2!) (3.8-1)
玻尔兹曼熵S = klog(W)，这其中k为玻尔兹曼常数。（3.8-2）
有：
S = k(log(N!) - log(n1!) - log(n2!)) (3.8-3)
考察系统以克劳修斯熵增引发玻尔兹曼熵增。
因为此原因，系统的玻尔兹曼熵从S变到S*，N次实验中某量子态被占领的次数少了1次而某量子态未被占领的次数多了一次。有：
S* = k(log(N!) - log((n1-1)!) - log((n2+1)!)) (3.8-4)
玻尔兹曼熵增量deltaS = S* - S满足：
deltaS = k(log(n1/(n2+1)) (3.8-5)
因为 n2 远大于 1，
deltaS = klog(n1/n2) (3.8-6)
假设克劳修斯熵增量deltaSc满足下式：
deltaSc = klog(A) - E/T (3.8-7)
式(3.8-7)可以通过命： 克劳修斯新熵态S* = klog(A)来实现。因为常数A与化学势u存在关系：A = exp(u/kT), 所以S* = u/T，E* = u。这也就是说：在任意给定的系统能量E下，通过把新能量E*变成化学势u,即可实现费米分布所需要的克劳修斯熵增量。
命：玻尔兹曼熵增量deltaS = 克劳修斯熵增量deltaSc （3.8-8）
就有：
log(n1/n2) = log(A) - E/(kT) (3.8-9)
n1/n2 = Aexp(-E/(kT))
x = (n1/N)/(n2/N) = Aexp(-E/(kT)) (3.8-10)
这也就是说： 某个量子态被占概率与未被占概率之比x服从经典玻尔兹曼分布。费米分布的前提成立。假设某个量子态被占概率为f(E)，则有
x = f(E)/(1-f(E)) （3.8-11）
f(E) = x/(1+x) = Aexp(-E/(kT))/(1+Aexp(-E/(kT))
f(E) = 1/(exp((E-u)/kT) + 1) (3.8-12)
式（3.8-12）就是在系统能量为E，化学势为u的条件下，某个量子态被占概率所服从的费米分布。因为对于费米子，每种量子态上的粒子数要么为0要么为1，所以：
每种量子态上的平均粒子数 = 0*(1-f(E)) + 1*f(E) = f(E) (3.8-13)
本小节提供了对化学势的一种新解释：化学势u是在任意给定的系统能量E下，费米子系统能够引发N次实验中某量子态被占领的次数少了1次而某量子态未被占领的次数多了一次所需要的系统新能量值E*。化学势又叫费米能级或费米能量。
本小节还从经典的最大玻尔兹曼熵：等于平衡态的克劳修斯熵的玻尔兹曼熵出发推导出量子统计分布：费米分布。
§3.8.3 作为冯向军泛有序对的1个费米子
费米子遵守泡利不相容原理。在任意给定的量子态中，要么有1个费米子，要么没有，而有1个费米子的概率为p1 = p0 * x ，这其中p0是在任意给定的量子态中没有费米子的概率，x则服从经典玻尔兹曼分布：
x = exp(-(E-u)/(kT))。
式中，E为系统能量，u为系统化学势或费米能级，T为系统热力学温度，k为玻尔兹曼常数。我们总可以把任意给定的量子态中的1个费米子视为相互对立的两单位向量：
A = （1，0）= 无费米子
和
非A = (0，1）= 有费米子
所构成的二维正交坐标系上的广义向量。
冯向军泛有序对(A，非A）= 函数f(A，非A）
1个费米子 = 冯向军泛有序对(A，非A）= p0A + x非A （3.8-14）
1个费米子的发生概率 = p0 * x (3.8-15)
因为：对于费米子，p0 = 1 - 1个费米子的发生概率，所以：
1个费米子的发生概率/(1 - 1个费米子的发生概率) = x (3.8-16)