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一种直接基于因果律的广义的克劳修斯熵公式的推导
美国归侨冯向军博士,2017年8月17日写于美丽家乡
【无拉格朗日乘数法的最大广义玻尔兹曼熵原理】
克劳修斯熵是可逆过程中平衡态的熵。因为平衡态的熵具有最大值,所以克劳修斯熵就是玻尔兹曼熵的最大值。当我们命:
玻尔兹曼熵变 = 克劳修斯熵变 (1-1)
就等于是命玻尔兹曼熵取最大值。由方程(1-1)式所导出的概率分布就是具有最大玻尔兹曼熵的概率分布。任何分布要得以发生都必须令玻尔兹曼熵最大,因此任何分布要得以发生也必须满足(1-1)式。这就是无拉格朗日乘数法的最大玻尔兹曼熵原理。在无拉格朗日乘数法的最大玻尔兹曼熵原理基础上,将克劳修斯熵变推广为广义的克劳修斯熵变,又去掉玻尔兹曼熵变中的玻尔兹曼常数,就成就了无拉格朗日乘数法的最大广义玻尔兹曼熵原理。
【直接由因果律推导出广义的克劳修斯熵公式】
假设开放复杂的系统所包含的宏观粒子数为N并达到了平衡态。该系统仅包含2个广义能级E1和E2。E2 > E1。处于广义能级E1的粒子数为n1而处于广义能级E2的粒子数为n2。n1 + n2 = N。这时广义系统微观状态总数W满足下式:
W = N!/ (n1!n2!) (1-2)
广义的玻尔兹曼熵S = log(W)。(1-3)
有:
S = log(N!) - log(n1!) - log(n2!) (1-4)
考察系统吸收广义能量
deltaE = E2 - E1 (1-5)
因为此原因,系统的广义玻尔兹曼熵从S变到S*,低能态粒子少了1个而高能态粒子多了一个。有:
S* = log(N!) - log((n1-1)!) - log((n2+1)!) (1-6)
广义的玻尔兹曼熵增量deltaS = S* - S满足:
deltaS = log(n1/(n2+1) (1-7)
因为 n2 远大于 1,
deltaS = log(n1/n2) (1-8)
命关于广义能级E的广义的克劳修斯熵为Sc(E),
则有广义的克劳修斯熵增量为:
deltaSc = Sc(E2) - Sc(E1) (1-9)
由式(1-8)
deltaS = log(p1/p2) (1-10)
这其中,p1和p2分别是广义能级E1和E2上粒子出现的概率。
假设把pi固定在欲成就的分布f(xi)上,i = 1,2,则按因果律和最大广义玻尔兹曼熵原理,必有pi = f(xi)是令广义的玻尔兹曼熵最大的分布。但是