费米分布的实质

美国归侨冯向军博士，2017年8月11日写于美丽家乡

在一组由全同粒子组成的体系中，如果在体系的一个量子态（即由一套量子数所确定的微观状态）上只容许容纳一个粒子，这种粒子称为费米子。或者说自旋为半奇数（1/2，3/2…）的粒子统称为费米子【1】，服从费米-狄拉克统计或费米分布。费米分布的实质是【2】能量为E的某个量子态被占概率与未被占概率之比x服从经典玻尔兹曼分布。x = Aexp(-E/(kT))。这给我带来了丰富的想象空间:在某种意义上经典玻尔兹曼分布是经典平衡态和量子平衡态概率分布的共同基础。这难道是偶然发生的吗？

【试用无拉格朗日乘数法的最大玻尔兹曼熵原理推导费米分布】

 假设费米子系统在N次实验中，某量子态被占领的次数为n1而未被占领的次数为n2。n1 + n2 = N。以上抽象的统计数学假设避免了二义性又符合概率的统计定义。这时系统微观组合状态总数W(也就是N次实验中实现某量子态被占领的次数为n1而未被占领的次数为n2的具体方法总数）满足下式：

W = N！/ (n1!n2!)    (1-1)

玻尔兹曼熵S = klog(W)，这其中k为玻尔兹曼常数。（1-2）

有：

S = k(log(N!) - log(n1!) - log(n2!))    (1-3)

考察系统以克劳修斯熵增引发玻尔兹曼熵增。

因为此原因，系统的玻尔兹曼熵从S变到S*，N次实验中某量子态被占领的次数少了1次而某量子态未被占领的次数多了一次。有：

S* = k(log(N!) - log((n1-1)!) - log((n2+1)!)) (1-4)

玻尔兹曼熵增量deltaS = S* - S满足：

deltaS = k(log(n1/(n2+1)) (1-5)

因为 n2 远大于 1，

deltaS = klog(n1/n2) (1-6)

假设克劳修斯熵增量deltaSc满足下式：

deltaSc = klog(A) - E/T    (1-7)

式(1-7)可以通过命： 克劳修斯新熵态S* = klog(A)来实现。因为常数A与化学势u存在关系：A = exp(u/kT), 所以S* = u/T，E* = u。这也就是说：在任意给定的系统能量E下，通过把新能量E*变成化学势u,即可实现费米分布所需要的克劳修斯熵增量。

命：玻尔兹曼熵增量deltaS = 克劳修斯熵增量deltaSc    （1-8）

就有：

log(n1/n2) = log(A) - E/(kT)    (1-9)

n1/n2 = Aexp(-E/(kT))

x = (n1/N)/(n2/N) = Aexp(-E/(kT))    (1-10)

这也就是说： 某个量子态被占概率与未被占概率之比x服从经典玻尔兹曼分布。费米分布的前提成立。假设某个量子态被占概率为f(E)，则有

x = f(E)/(1-f(E))    （1-11）

f(E) = x/(1+x) = Aexp(-E/(kT))/(1+Aexp(-E/(kT))

f(E) = 1/(exp((E-u)/kT) + 1)    (1-11)

式（1-11）就是在系统能量为E，化学势为u的条件下，某个量子态被占概率所服从的费米分布。因为对于费米子，每种量子态上的粒子数要么为0要么为1，所以：

每种量子态上的平均粒子数 = 0*(1-f(E)) + 1*f(E) = f(E)   (1-12)

 本文提供了对化学势的一种新解释：化学势u是在任意给定的系统能量E下，费米子系统能够引发N次实验中某量子态被占领的次数少了1次而某量子态未被占领的次数多了一次所需要的系统新能量值E*。化学势又叫费米能级或费米能量。

 本文还从经典的最大玻尔兹曼熵：等于平衡态的克劳修斯熵的玻尔兹曼熵出发推导出量子统计分布：费米分布。

慢慢悟......

参考文献

【1】https://baike.baidu.com/item/%E8%B4%B9%E7%B1%B3%E5%AD%90/126356?fr=aladdin

【2】余守宪 唐莹，费米-狄拉克分布和玻色-爱因斯坦分布的简单推导，物理与工程，第11卷，第2期，2001年。

https://wenku.baidu.com/view/4bb001b26f1aff00bfd51e0e.html