无拉格朗日乘数法的最大广义玻尔兹曼熵原理

美国归侨冯向军博士，2017年8月10写于美丽家乡

【摘要】克劳修斯熵是可逆过程中平衡态的熵。因为平衡态的熵具有最大值，所以克劳修斯熵就是玻尔兹曼熵的最大值。当我们命：

玻尔兹曼熵变 = 克劳修斯熵变   (1-1)

就等于是命玻尔兹曼熵取最大值。由方程（1-1）式所导出的概率分布就是具有最大玻尔兹曼熵的概率分布。这就是无拉格朗日乘数法的最大玻尔兹曼熵原理。在无拉格朗日乘数法的最大玻尔兹曼熵原理基础上，将克劳修斯熵变推广为广义的克劳修斯熵变，又去掉玻尔兹曼熵变中的玻尔兹曼常数，就成就了无拉格朗日乘数法的最大广义玻尔兹曼熵原理。

【用无拉格朗日乘数法的最大广义玻尔兹曼熵原理推导幂律分布的一般形式】

 假设开放复杂的系统所包含的宏观粒子数为N并达到了平衡态。该系统仅包含2个广义能级E1和E2。E2 > E1。处于广义能级E1的粒子数为n1而处于广义能级E2的粒子数为n2。n1 + n2 = N。这时广义系统微观状态总数W满足下式：

W = N！/ (n1!n2!)    (1-2)

广义的玻尔兹曼熵S = log(W)。（1-3）

有：

S = log(N!) - log(n1!) - log(n2!)   (1-4)

考察系统吸收广义能量

deltaE = E2 - E1    (1-5)

因为此原因，系统的广义玻尔兹曼熵从S变到S*，低能态粒子少了1个而高能态粒子多了一个。有：

S* = log(N!) - log((n1-1)!) - log((n2+1)!) (1-6)

广义的玻尔兹曼熵增量deltaS = S* - S满足：

deltaS = log(n1/(n2+1) (1-7)

因为 n2 远大于 1，

deltaS = log(n1/n2) (1-8)

但是对于幂律分布，广义的克劳修斯熵增量deltaSc满足下式：

deltaSc = b(log(E2+c)-log(E1+c))    (1-9)

这其中b和c是常量。

所谓广义的克劳修斯熵增量deltaSc就是引发系统微观状态数的对数增量或广义的玻尔兹曼熵增的宏观原因。它的具体形式由欲成就的分布来确定。决定性的欲成就的分布，可视为一种平衡态的“果”分布。以平衡态的“果”分布来决定广义的克劳修斯熵增量deltaSc的具体形式并命之与微观状态数的对数增量或广义的玻尔兹曼熵增相等，就是以果为因或“以果地觉为因地心”来决定最大广义的玻尔兹曼熵下的概率分布。

 与假科学极值原理最大熵原理绝然不同，无拉格朗日乘数法的最大广义玻尔兹曼熵原理中根本没有拉格朗日乘数法的介入，因此不受拉格朗日乘数法的制约。决定分布的约束条件不是对分布本身的直接约束，而是命微观状态数增量同与“果”分布相对应的引发微观状态数增量的由广义能量的变化所决定的广义的克劳修斯熵增相等。完全符合因果律。

命：

广义的玻尔兹曼熵增量deltaS = 广义的克劳修斯熵增量deltaSc （1-10）

就有：

n1/n2 = （(E1+c)/(E2+c))^-b    (1-11)

n1 = a(E1+c)^-b   (1-12)

n2 = a(E2+c)^-b    (1-13)

a = N/((E1+c)^-b + (E2+c)^-b)    (1-14)

广义能量的概率分布pi = ni/N = d(Ei+c)^-b ，i = 1，2    （1-15）

这其中，

d = a/N = 1/((E1+c)^-b + (E2+c)^-b) （1-16）

不失一般性，考察n个广义能级的系统，可得

广义能量的概率分布pi = ni/N = e(Ei+c)^-b （1-17）

这其中i = 1，2，...n，而

e = 1/((E1+c)^-b + (E2+c)^-b)+...+(E2+c)^-b)）    (1-18)

【与“果"分布相对应的广义的克劳修斯熵的一般形式】

与“果"分布f(x)相对应的广义的克劳修斯熵的一般形式是：

广义的克劳修斯熵 = -log(f(x)/a),这其中a是“果”分布系数。(1-19)

对于负指数分布f(x) = aexp(-bx)，

广义的克劳修斯熵 = bx （1-20）

对于玻尔兹曼分布，x=能量E，b=1/(kT）,f(x)=aexp(-E/(kT)）,则有：

广义的克劳修斯熵 = 克劳修斯熵新型式 = E/(kT) (1-21)

广义的克劳修斯熵增 = 克劳修斯熵增新型式 = (E2-E1)/(kT) （1-22）

这其中，k为玻尔兹曼常数，T为温度。

重大科学创新：无拉格朗日乘数法的最大玻尔兹曼熵原理

美国归侨冯向军博士，2017年8月10日写于美丽家乡

【摘要】假科学极值原理最大熵原理的根本极大问题完全不在信息熵和各种广义熵，信息熵和各种广义熵本身都是与某种广义的发生概率相应的。问题出在在作为数学基础的拉格朗日乘数法中，把信息熵和各种广义熵作为目标函数就与根本因果规律不相容。因此信息熵和各种广义熵应主动远离拉格朗日乘数法而另谋出路。本文报告的是重大科学创新：无拉格朗日乘数法的最大玻尔兹曼熵原理

【无拉格朗日乘数法的最大玻尔兹曼熵原理】

克劳修斯熵是可逆过程中平衡态的熵。因为平衡态的熵具有最大值，所以克劳修斯熵就是玻尔兹曼熵的最大值。当我们命：

玻尔兹曼熵变 = klog(W2/W1) = 克劳修斯熵变deltaQ/T    (1-1)

就等于是命玻尔兹曼熵取最大值。

由方程（1-1）式所导出的概率分布就是具有最大玻尔兹曼熵的概率分布。这就是无拉格朗日乘数法的最大玻尔兹曼熵原理。

【由无拉格朗日乘数法的最大玻尔兹曼熵原理推道出负指数分布】【1】【2】

假设封闭系统其环境温度T恒定，所包含的宏观粒子数为N，并且达到了热平衡态。该系统仅包含2个能级E1和E2。E2 > E1。处于能级E1的粒子数为n1而处于能级E2的粒子数为n2。n1 + n2 = N。这时系统微观状态总数W满足下式：

W = N！/ (n1!n2!)    (1-2)

玻尔兹曼熵S = klog(W)，这其中k为玻尔兹曼常数。（1-3）

有：

S = k(log(N!) - log(n1!) - log(n2!))    (1-4)

在温度T不变的前提下，考察系统以可逆过程吸收能量

deltaE = E2 - E1    (1-5)

因为此原因，系统的玻尔兹曼熵从S变到S*，低能态粒子少了1个而高能态粒子多了一个。有：

S* = k(log(N!) - log((n1-1)!) - log((n2+1)!)) (1-6)

玻尔兹曼熵增量deltaS = S* - S满足：

deltaS = k(log(n1/(n2+1)) (1-7)

因为 n2 远大于 1，

deltaS = klog(n1/n2) (1-8)

但是等温可逆过程的克劳修斯熵增量deltaSc满足下式：

deltaSc = deltaE/T    (1-9)

命：玻尔兹曼熵增量deltaS = 克劳修斯熵增量deltaSc    （1-10）

就有：

n1/n2 = exp(deltaE/(kT))(1-11)

n1/n2 =exp(-(E1 - E2)/(kT))    (1-12)

n1 = aexp(-E1/(kT))    (1-13)

n2 = aexp(-E2/(kT))    (1-14)

a = N/(exp(-E1/(kT)) + exp(-E2/(kT))    (1-15)

能量的概率分布pi = ni/N = bexp(-Ei/kT)，i = 1，2    （1-16）

这其中，

b = a/N = 1/(exp(-E1/(kT)) + exp(-E2/(kT)) （1-17）

不失一般性，考察n个能级的系统，可得

能量的概率分布pi = ni/N = cexp(-Ei/kT) （1-18）

这其中i = 1，2，...n，而

c = 1/(exp(-E1/(kT)) + exp(-E2/(kT)+...+ exp(-En/(kT))）（1-19）

参考文献

【1】http://www.docin.com/p-1828672305.html

【2】http://www.docin.com/p-500625710.html