精彩！没有最大信息熵原理及其配套约束条件的

简明玻尔兹曼分布推导启示录

美国归侨冯向军博士，2017年8月9日写于美丽家乡

【摘要】尽管“最大信息熵原理宗教”的忠实“信徒”是如此众多而且如此无视事实而顽固不化，但是最大信息熵原理违反最根本的因果规律的事实是任何人都否定不了的！为挽救众多“信徒”的科学生命，我设身处地为这些诚实善良的人们着想：为什么他们如此迷恋与事实明显不合又违背最根本的因果规律的“最大信息熵原理宗教”呢？我想证明如下论点以帮助这些诚实善良的人们尽早弃暗投明，破迷开悟，离苦得乐。

（1）作为信息熵老祖宗的玻尔兹曼熵本身毫无问题。

（2）问题出在基于玻尔兹曼熵的信息熵在拉格朗日乘数法中与代表最根本因果律的自洽约束条件不自洽或不相容。在代表最根本因果律的自洽约束条件下，最大信息熵原理得不出符合因果规律的结论。在拉格朗日乘数法中，“种瓜得瓜”这种平凡的因果事实并不是对所有目标函数都成立的。事实上“种瓜得瓜”这种平凡的因果事实唯独只对包含发生概率的对数log(P)的目标函数成立！拉格朗日乘数法对分布的确定取决于两个要素：目标函数和约束条件。但是“种瓜得瓜”这种平凡的因果事实唯独只靠“种瓜”这种约束条就把“瓜”这种分布完全确定了。可见或许唯独只有一种目标函数才符合“种瓜得瓜”这种平凡的因果事实。这个目标函数被证明不是别的正是发生概率的对数log(P)！

以下所描述的是：在完全没有最大信息熵原理及其配套约束条件介入的前提下，推导出能量所服从的负指数分布：玻尔兹曼分布【1】【2】。

假设封闭系统其环境温度T恒定，所包含的宏观粒子数为N，并且达到了热平衡态。该系统仅包含2个能级E1和E2。E2 > E1。处于能级E1的粒子数为n1而处于能级E2的粒子数为n2。n1 + n2 = N。这时系统微观状态总数W满足下式：

W = N！/ (n1!n2!)    (1-1)

熵S = klog(W)，这其中k为玻尔兹曼常数。（1-2）

有：

S = k(log(N!) - log(n1!) - log(n2!))    (1-3)

在温度T不变的前提下，考察系统以可逆过程吸收能量

deltaE = E2 - E1    (1-4)

因为此原因，系统的熵从S变到S*，低能态粒子少了1个而高能态粒子多了一个。有：

S* = k(log(N!) - log((n1-1)!) - log((n2+1)!)) (1-5)

熵增量deltaS = S* - S满足：

deltaS = k(log(n1/(n2+1)) (1-6)

因为 n2 远大于 1，

deltaS = klog(n1/n2) (1-7)

但是等温可逆过程的熵增量deltaS满足下式：

deltaS = deltaE/T    (1-8)

就有：

n1/n2 = exp(deltaE/(kT))(1-9)

n1/n2 =exp(-(E1 - E2)/(kT))    (1-10)

n1 = aexp(-E1/(kT))    (1-11)

n2 = aexp(-E2/(kT))    (1-12)

a = N/(exp(-E1/(kT)) + exp(-E2/(kT))    (1-13)

能量的概率分布pi = ni/N = bexp(-Ei/kT)，i = 1，2    （1-14）

这其中，

b = a/N = 1/(exp(-E1/(kT)) + exp(-E2/(kT)) （1-15）

不失一般性，考察n个能级的系统，可得

能量的概率分布pi = ni/N = cexp(-Ei/kT) （1-14）

这其中i = 1，2，...n，而

c = 1/(exp(-E1/(kT)) + exp(-E2/(kT)+...+ exp(-En/(kT))）  

须强调的是，我们完全不需要最大信息熵原理外加能量的统计平均值不变的假设也推导出了著名的玻尔兹曼分布这一负指数分布。这是一件值得深思的事。

所谓玻尔兹曼公式的实质是指出：微观粒子状态数的相对变化与系统能量变化成正比，比例系数是1/（kT）。

dW/W = dE/(kT)    (1-14)

只要 （1-14）成立，系统能量的分布就服从负指数分布，与最大信息熵原理外加能量的统计平均值不变的假设毫无关系。后者违反因果律。纯粹是凑数据的虚妄相想，与现实毫无关系。

参考文献

【1】http://www.docin.com/p-1828672305.html

【2】http://www.docin.com/p-500625710.html