关于算术统计平均值为常量前提下的概率分布新理论初探

美国归侨冯向军博士，2017年8月8日写于美丽家乡

【摘要】在变量xi的算术统计平均值为常量前提下，至少存在两种类型的概率分布pi：标准负1次幂律和不是标准负1次幂律的某种分布。这其中，i = 1，2，...，n。标准负1次幂律满足 pixi = C = 常量。不是标准负1次幂律的某种分布则满足pixi 不等于常量。任何分布pi(xi,a,b)只要在数学上满足：

p1(x1，a，b)x1 + p2(x2，a，b)x2 + ...+ pn(xn，a，b)xn = C1

p1(x1，a，b) + p2(x2，a，b) + ... + pn(xn，a，b) = 1

就都是可能的变量xi的算术统计平均值为常量前提下的概率分布pi。这其中：a，b为待定参数，C1为常量，i = 1，2，...，n。

变量xi的算术统计平均值为常量前提下的概率分布pi具体取何种分布f(xi），则处决于变量间隔xi之内给定事件出现的总数的统计平均值

Freq = -log(f(xi))    (1-1)

的具体形式。此时，概率分布被视为变量间隔xi之后给定事件才出现的概率分布。

当 Freq与变量xi成正线性关系：

Freq = -log(a) + bxi，b > 0

就有变量xi的算术统计平均值为常量前提下的概率分布pi为负指数分布

pi = aexp(-bxi),i = 1，2，...，n。

当 Freq与变量的对数log(xi)成正线性关系：

Freq = -log(a) + blog(xi)，b > 0

就有变量xi的算术统计平均值为常量前提下的概率分布pi为幂律分布

pi = axi^-b,i = 1，2，...，n。

【举例】

表一是三组4元变量和给定的变量的算术统计平均值C。

表一：三组4元变量和给定的变量的算术统计平均值C。

它们同时既可以对应表二所示的标准负1次幂律分布（4c = C)，又可以对应表三所示的负指数分布。

表二：标准负1次幂律分布。

表三：负指数分布。

表四给出了负指数分布所对应的变量间隔xi之内给定事件出现的总数的统计平均值Freq(xi)，i = 1，2，3，4。

表四：负指数分布所对应的变量间隔xi之内给定事件出现的总数的统计平均值Freq(xi)，i = 1，2，3，4。