试用最大发生概率公理估计正态分布的参数

美国归侨冯向军博士，2017年8月4日写于美丽家乡

【摘要】最大发生概率公理是为突出最大概率公理中发生概率的地位而为最大概率公理所取的别名。本文通过用最大发生概率公理估计正态分布的参数来进一步让科学中国人接受我的以发生概率为核心概念的崭新的《关于决定性事件的概率论》。

【最大发生概率公理】

凡所能发生的，都是发生概率最大的。发生概率不是最大的都不可能发生。这就是最大发生概率公理。最大发生概率公理又叫最大概率公理。

对于已知正态分布

pi = 1/(sigmasqrt(2π))exp(-(xi-m)²/(2sigma²))

有发生概率

P = p1*p2*...*pn

= (2πsigma²)^-n/2exp(-1/(2sigma²)*sum((xi-m)²))

这其中sum( )表示当i遍取1到n的所有值时对括号里的函数的值求和。

似然函数L = log(P)

= -n/2log(2π）- n/2log(sigma²) - 1/(2sigma²)*sum((xi-m)²)

对似然函数L求一阶偏导数dL/dm，dL/dsigma²并令之为零，有：

dL/dm = 1/(sigma2)(sum(xi)-mn) = 0

m = sum(xi)/n = (x1 + x2 +...+ xn)/n

dL/dsigma² = -n/(2sigma²) + 1/（2sigma⁴）*sum((xi-m)²)

= 0

sigma^2 = ((x1-m)^2 +(x2-m)^2 +...+ (xn-m)^2 )/n

考察可能的极值点上L的二阶偏导数

L对m 的二阶偏导数= -n < 0。

L对sigma² 的二阶偏导数 = -n/（2*sigma⁴) < 0

但是，似然函数L(发生概率的对数）的二阶偏导数矩阵为一主对角线上元素恒负而其他元素恒等于零的负定对称矩阵。因此上述令似然函数L的一阶偏导数为零的参数m和sigma² 必定也是令似然函数L(发生概率的对数）取最大值的参数m和sigma²。这种参数m和sigma²符合最大发生概率公理。