唯一决定常见概率分布形态的具体自洽约束条件

美国归侨冯向军博士，2017年8月1日写于美丽家乡

定理：对于任意给定的概率分布形态f(xi),以下自洽约束条件

p1/f(x1) + p2/f(x2) + ... + pn/f(xn) = 常数 = n    (1-1）

外加自然约束条件

p1 + p2 +...+ pn = 1    (1-2)

以最大发生概率唯一决定概率分布

pi = f(xi)，i = 1，2，...n。

证明：命自然约束条件所对应的拉格朗日乘数为C1,又命目标函数T为：

T = -C1(p1 + p2 + ... + pn) + log(p1) + log(p2) + ...+ log(pn)

T = -C1(p1 + p2 + ... + pn) + log（P）    （1-3）

这其中P为发生概率。

命由目标函数T、定理中所言自洽约束条件以及自然约束条件所构成的拉格朗日算子为L，则有：

L = -C1(p1 + p2 + ... + pn) + log(p1) + log(p2) + ...+ log(pn) +

+ C1(p1 + p2 + ... + pn - 1) +

+ C2(p1/f(x1) + p2/f(x2) + ... + pn/f(xn) - n)    (1-4)

对拉格朗日算子求一阶偏导数dL/dpi并命之为零，就有：

dL/dpi = -C1 + 1/pi + C1 + C2/f(xi) = 0

pi = f(xi)/(-C2)，i = 1，2，...，n。

因为所给定的概率分布f(xi)和待决定的概率分布pi都是柯尔莫哥洛夫概率分布，所以都具有所谓规范性，或者说都服从自然约束条件。有：

p1 + p2 + ... + pn = 1

T = -C1 + log(P)    （1-5）

f(x1) + f(x2) + ... + f(xn) = 1

就有：

C2 = -1

并且令拉格朗日算子L的一阶偏导数为零的分布pi为：

pi = f(xi)，i = 1，2，...n。    (1-6)

但是，拉格朗日算子L的二阶偏导数为一主对角线上元素恒负而其他元素恒等于零的负定对称矩阵。因此上述令拉格朗日算子L的一阶偏导数为零的分布pi=f(xi)必定也是令自洽约束条件和自然约束条件下的满足式（1-5）的目标函数T = -C1 + log(P)取最大值或极大值的函数。这也就是说上述令拉格朗日算子L的一阶偏导数为零的分布pi=f(xi)必定也就是令自洽约束条件和自然约束条件下发生概率P最大的分布。这种分布pi=f(xi)符合最大发生概率原理。因此：

自洽约束条件

p1/f(x1) + p2/f(x2) + ... + pn/f(xn) = 常数 = n    

外加自然约束条件

p1 + p2 +...+ pn = 1    

以最大发生概率唯一决定概率分布

pi = f(xi)，i = 1，2，...n。

证毕。

【均匀分布】

根据上述定理，以最大发生概率唯一决定均匀分布

p1 = p2 =...=pn = 1/n

的自洽约束条件是：

p1*n + p2*n + ...+ pn*n = 常数 = n

p1 + p2 +...+ pn = 1

这也就是说：对于均匀分布而言，自洽约束条件同了自然约束条件。

【标准负一次幂律】

根据上述定理，以最大发生概率唯一决定著名的齐普夫定律(Zipf's Law)所描述的标准负一次幂律的自洽约束条件是：

p1x1 + p2x2 + ...+ pnxn = 常量 = n*C

这其中C是 标准负一次幂律常量：

pixi = C，i = 1，2，...，n。

【负指数分布】

根据上述定理，以最大发生概率唯一决定负指数分布

pi = aexp(-bxi),i = 1，2，...，n

的自洽约束条件是：

p1/aexp(+bx1) + p2/aexp(+bx2) +...+ pn/aexp(+bxn) = 常数 = n。

【幂律分布】

根据上述定理，以最大发生概率唯一决定幂律分布

pi = axi^-b,i = 1，2，...，n

的自洽约束条件是：

p1/ax1^+b + p2/ax2^+b +...+ pn/axn^+b= 常数 = n。

【Tsallis分布】

根据上述定理，以最大发生概率唯一决定Tsallis分布

pi = a(1 -(1-q1)bxi)^1/(1-q1), q1 = 2 - q，i = 1，2，...，n

的自洽约束条件是：

p1/a(1 -(1-q1)bx1)^1/(q1-1) + p2/a(1 -(1-q1)bx2)^1/(q1-1) +

+...+  pn/a(1 -(1-q1)bxn)^1/(q1-1) = 常数 = n。

【正态分布】

根据上述定理，以最大发生概率唯一决定正态分布

pi = aexp(-b(xi-m)²)，i = 1，2，...，n

的自洽约束条件是：

p1/aexp(+b(x1-m)²) + p2/aexp(+b(x2-m)²) +...+ pn/aexp(+b(xn-m)²)

= 常数 = n。

【对数正态分布】

根据上述定理，以最大发生概率唯一决定对数正态分布

pi = a/xexp(-b(log(xi)-m)²)，i = 1，2，...，n

的自洽约束条件是：

p1x1/aexp(+b(log(x1)-m)²) + p2x2/aexp(+b(log(x2)-m)²) +...+ pnxn/aexp(+b(log(xn)-m)²)

= 常数 = n