最大Tsallis广义熵原理也绝对不具备完备性

美国归侨冯向军博士，2017年7月31日写于美丽家乡

【摘要】最大Tsallis广义熵原理虽然比起最大詹尼斯信息熵原理进了一大步：主动公开承认在变量的统计平均值不变这一非自然约束条件下所确定的分布不唯一，但是是不是可以说Tsallis广义熵原理具备完备性或者说其导出的分布包含了约束条件下所有的分布呢？本文给出的答案是：绝对不是！

【一般性结论】

 任何一个不同的目标函数，只要满足在自然约束条件下的最大值点或最大值分布是均匀分布那么其在变量的统计平均值不变这一非自然约束条件下所确定的分布一般而言都不同于Tsallis分布！

【举例说明】

我们来考察如下新的目标函数

T = nexp(1/(a*n)) -  exp(p1/a) - exp(p2/a) - ... -exp(pn/a)) (1-1)

当概率分布在自然约束条件下处于均匀分布时，上述目标函数达到最大值零。

在变量的统计平均值不变的约束条件下，不失一般性，有：

p1(r1x1 + r2) + p2(r1x2 + r2) + ...+ pn(r1xn + r2) = 常量C （1-2）

这其中r1和r2是常数。又有自然约束条件：

p1 + p2 +... + pn = 1 (1-3)

于是拉格朗日算子为：

L = nexp(1/(an)) -  exp(p1/a) - exp(p2/a) - ... -exp(pn/a) +

+ C1(p1 + p2 +... + pn - 1) +

+ C2(p1(r1x1 + r2)+ p2(r1x2 + r2) + ...+ pn(r1xn + r2) - C3)

对拉格朗日算子L求一阶偏导数dL/dpi并令之为零，就有：

dL/dpi = -1/a *exp(pi/a) + C1 + C2(r1xi + r2) = 0

pi = a*log(a*(C1 + C2(r1xi + r2)))

命:

b = a*C2*r1, c = a*C1 + a*C2*r2

有：

pi = a*log(bxi + c), i = 1，2，...,n （1-3）

这是绝然不同于Tsallis分布的对数分布。一个实用例子就是作为概率分布的归一化于宏义观控隶属度【1】。对于作为概率分布的归一化于宏义观控隶属度，有：

xi = i

a = 1/(log(n+1)*(F(1) + F(2) + ...+ F(n)))

b = -1

c = n + 2

这其中 F(I)是定性序号I所对应的于宏义观控隶属度，I = 1，2，...，n。

图一  观控隶属度F(I)与定性序号I之间的关系

参考文献

【1】冯向军，基于概率的于宏义观控测度，科学网，2017年6月17日。http://blog.sciencenet.cn/blog-1968-1061285.html