发生概率和Tsallis广义熵同时最大原理

美国归侨冯向军博士，2017年7月24日写于美丽家乡

我将发生概率作为崭新的信息测度正式引进了统计物理学。

我居然发现除了最大发生概率原理外，其他所有的极值原理配合种种约束条件所导出的分布，一般而言，都不具备最大发生概率，而最大发生概率原理又能给出一切实现了的分布与最大发生概率相对应的统一约束条件。

另外当且仅当无任何非自然约束条件，最大发生概率原理和其他所有的极值原理给出相同的具有最大可达发生概率（1/n)ⁿ的分布：均匀分布！！！

这些天，我反复问自己的只有一句话：

这难道不是此生最重大的科学发现和科学研究机遇？

今天我终于提出了发生概率和Tsallis广义熵同时最大原理

这是一个重要里程碑！

【发生概率和Tsallis广义熵同时最大原理】

在任何约束条件下，概率分布必须使兼顾发生概率和Tsallis广义熵的信息测度：

发生概率的对数 + Tsallis广义熵

log(P) + S = log(p1) + log(p2) + ...+ log(pn)+

+ 1/(q-1)*(1 - p1^q - p2^q - ... - pn^q)

最大。

【发生概率和Tsallis广义熵同时最大原理的极值目标函数】

发生概率和Tsallis广义熵同时最大原理的极值目标函数是

发生概率的对数 + Tsallis广义熵

log(P) + S = log(p1) + log(p2) + ...+ log(pn)+

+ 1/(q-1)*(1 - p1^q - p2^q - ... - pn^q)   （1-1）

【发生概率和Tsallis广义熵同时最大原理的统一约束条件】

用发生概率和信息熵同时原理求分布的统一约束条件是：

p1/f(x1) + p2/f(x2) +...+pn/f(xn) = 常数 = n    （1-2）

p1*f(x1)^(q-1) + p2*f(x2)^(q-1) + ...+ pn*f(xn)^(q-1) = 常量    （1-3）

p1 + p2 +...+pn = 1    （1-4）

这其中f(xi)是想要推导的分布。

【举例】推导Tsallis分布

所谓Tsallis 分布是指：

pi = a(1 -(1-q1)λxi)^1/(1-q1)，i = 1，2，...，n。（1-5）

这其中，q1 = 2 - q。

pi = a(1 -(q - 1)λxi)^{1/(q - 1)}，i = 1，2，...，n。（1-6）

对于Tsallis 分布，根据（1-3）式，与Tsallis 广义熵有关的非自然约束条件是：

a^q-1(p1*(1-(q-1)λx1) + p2*(1-(q-1)λx2) + ...+ pn*(1-(q-1)λxn))  = 常量

以发生概率和Tsallis广义熵同时最大原理配合统一约束条件来推导分布，其拉格朗日算子L满足：L = L1 + L2

这其中，L1是最大发生概率原理所对应的拉格朗日算子而L2是最大Tsallis广义熵原理所对应的拉格朗日算子。对于Tsallis分布，

L1 = log(p1) + log(p2）+ ... + log( pn) + c11(p1 + p2 +...+ pn - 1) +

+ C2(（p1/f(x1) + p2/f(x2) +...+ pn/f(xn) - C3)

L2 = 1/(q-1)*(1 - p1^q - p2^q - ... - pn^q) + c12(p1 + p2 +...+ pn - 1)

+ C4( p1*(1-(q-1)λx1) + p2*(1-(q-1)λx2) + ...+ pn*(1-(q-1)λxn)- C5)

这其中，f(xi) = a(1 -(1-q1)λxi)^1/(1-q1)，i = 1，2，...，n。

对拉格朗日算子求一阶偏导数dL/dpi并令之为零，有：

1/pi + c11 + C2 /f(xi) - q/(q-1)pi^q-1 + c12 + C4a^q-1(1-(q-1)λx1) = 0

令 c11 = c12 = 0，C2 = -1, C4 = q/(q-1）, 有：

pi = f(xi) = a(1-(q-1)λxi)^1/(q-1)= a(1 -(1-q1)λxi)^1/(1-q1)，

i = 1，2，...,n。

另一方面，当q > 0 或 q1 < 2，拉格朗日算子L的二阶偏导数矩阵是主对角线上元素恒负而其余元素全为零的负定对称矩阵，因此发生概率和Tsallis广义熵同时最大原理所对应的拉格朗日算子L的一阶偏导数dL/dpi导数的零点也就是发生概率和Tsallis广义熵同时最大原理的最大值点。这也就是说，上述Tsallis分布

pi = f(xi) = a(1-(q-1)λxi)^1/(q-1)= a(1 -(1-q1)λxi)^1/(1-q1)，

i = 1，2，...,n

就是使发生概率和Tsallis广义熵同时最大的分布，符合发生概率和Tsallis广义熵同时最大原理。