建立在“玻尔兹曼无穷大样本”基础上的思维

一般而言并不适合小样本

美国归侨冯向军博士，2017年7月22日写于美丽家乡

（一）数学期望

X1，X2，X3，……，Xn为这离散型随机变量，p(X1），p(X2），p(X3），……p(Xn)为概率函数。

数学期望

E(X) = X1*p(X1） + X2*p(X2） + …… + Xn*p(Xn) = X1*f1(X1） + X2*f2(X2） + …… + Xn*fn(Xn)

它的分布律为

若

绝对收敛，则有:

由此可见数学期望只与无穷大样本空间相联系。

（二）负指数分布的数学期望

负指数分布aexp(- λx)的期望E(X)为a/λ²。

E(X)=（a/ λ）/∫xλexp(-λx)dx积分区间为0到正无穷,结果就是

E(X)=（a/ λ）* 1/λ = a/λ²。

这恐怕就是认定“负指数分布，其变量的统计平均值是常量”理念的根本所在。

显然，这个结论对于小样本并不一定成立。

对张学文快刀斩乱麻实验数据的实际再计算结果表明：对于小样本的负指数分布aexp(- λx)，一般而言：

变量的统计均值不等于a/λ²。

建立在“玻尔兹曼无穷大样本”基础上的思维一般并不适合具有小样本的广义系统。

对于小样本负指数分布aexp(- λx)，因为

pi = aexp(-λxi)

xi =1/λlog(a/pi)

变量的统计平均值 = p1x1 + p2x2 +...+pnxn

= 1/λ*(p1log(a/p1) + p2log(a/p2) +...+pnlog(a/pn)

怎能说是一与概率分布无关的常量？

注：张学文快刀斩乱麻实验中，n = 15，与无穷大样本空间实在是没关系。

如果变量的统计平均值不是与概率分布无关的常量，那么，用信息熵最大配合变量的统计平均值为常量来推导负指数分布，对小样本而言，一般就是凑数据。