分布探源：一个关于导致分布的约束条件的统一表达式

美国归侨冯向军博士，2017年7月17日写于美丽家乡

定理：假设f(x1)，f(x2)，...，f(xn)为关于变量值x1，x2，...，xn的最终概率分布，那么导致这种分布的一种可能的约束条件是：

p1/f(x1) + p1/f(x2) + ...+ pn/f(xn) = 常量     (1-1)

当f是负1次标准幂律时，约束条件就是：

p1x1 + p1x2 + ...+ pnxn = 常量     （1-2）

或变量的统计平均值为常量。

证明：对于非自然约束条件： p1/f(x1) + p2/f(x2) +...+ pn/f(xn) = 常量C3(这其中x1，x2，...，xn是与广义系统概率分布p1，p2，...，pn相对应的n个离散变量值），命由目标函数发生概率的对数log(P)，自然约束条件和上述非自然约束条件所决定的拉格朗日算子为L。有：

L = log(p1) + log(p2)+...+log(pn) + C1(p1 + p2 +...+ pn - 1)

+  C2(（p1/f(x1) + p2/f(x2) +...+ pn/f(xn) - C3)

对于拉格朗日算子L求一阶偏导数dL/dpi(i=1，2，...,n)并令之为零。有：

dL/dpi = 1 /pi + C1 + C2/f(xi) = 0，i = 1，2，...，n。

pi = -1/(C1 + C2/f(xi))，i = 1，2，...，n。        

当C1 = 0, C2 = -1，有：

pi = f(xi)，i = 1，2，...，n。        

但是拉格朗日算子L的二阶偏导数矩阵为一主对角线上元素恒负而其余元素全为零的负定对称矩阵，因此令拉格朗日算子L一阶偏导数为零的上述分布f(xi)也必定是令拉格朗日算子L或约束条件下的目标函数发生概率的对数log(P)取得最大值或极大值的概率分布。这也就是说令拉格朗日算子L一阶偏导数为零的上述分布f(xi)也必定是令约束条件下的发生概率P取d得最大值或极大值的概率分布，这种分布f(xi)符合最大发生概率原理【1】。

当f是负1次标准幂律时，或

f(xi) = C/xi，i = 1，2，...，n。      

约束条件就是：

p1x1 + p1x2 + ...+ pnxn = 常量  

或变量的统计平均值为常量。

证毕。

参考文献

【1】冯向军，发生概率能表达无中生有，科学网，2016年7月14日。http://blog.sciencenet.cn/blog-1968-1066322.html