关于平均概率的系统性研究

美国归侨冯向军博士，2017年6月12日写于美丽家乡

   2004年，我正式发表了“各概率的平方和是平均概率”的见解【1】。这一见解十多年来一直得到《组成论》创始人张学文先生的强烈支持和欣赏【2】。本文将对平均概率展开一系列系统性的数理研究。

【定理一】广义系统的各概率的平方和是概率的统计平均值或平均概率。

 证明：假设广义系统 = （p1， p2， ... ， pn) ， 这其中pi 是广义系统在第i个广义方向上的发生概率（i=1，2， ... ， n)。我们要问广义系统向各个广义方向上投影所得投影坐标值的统计平均值是多少？ 因为广义系统向第i个广义方向上投影所得投影坐标是pi，而广义系统向第i个广义方向上投影的概率也是pi （i=1， 2， ... ， n)，所以，广义系统向各个广义方向上投影所得投影坐标值的统计平均值

=概率1(投影坐标1)+概率2(投影坐标2)+... +概率n(投影坐标n)

= p1(p1)+p2(p2)+...+pn(pn)

=p1^2+p2^2+...+pn^2

=各概率的平方和

或者说，

各概率的平方和=投影坐标值的统计平均值

但是广义系统是以概率为其投影坐标值的，所以：

投影坐标值的统计平均值=概率的统计平均值或平均概率。

因此就有：

各概率的平方和 = 概率的统计平均值或平均概率 = p1p1+p2p2+...+pnpn

证毕。

【定理二】广义系统的大小或模M满足：

M 的平方 =  平均概率

 证明：按定义，广义系统(p1，p2， ... ， pn)的大小或模M满足：

M 的平方 = p1^2+p2^2+...+pn^2

而 p1^2+p2^2+...+pn^2 = p1p1 + p2p2 +... + pnpn =  平均概率

所以有

M 的平方 =  平均概率

证毕。

【定理三】具有n个广义方向的广义系统其平均概率的最大值为1，最小值为1/n。当广义系统在任意一个广义方向的概率为1时，平均概率取最大值，当且仅当广义系统平等遍历各广义方向而其概率成为均匀分布时，平均概率取最小值。因此平均概率是广义系统不平等程度的量度。

  证明：各概率的平方和与概率归一这个自然约束条件所构成的拉格朗日算子L为

L = p1^2+p2^2+...+pn^2  + C1(p1+p2+...+pn-1)

对L求关于pi的一阶偏导数dL/dpi (i=1, 2, ... , n)并令之为零，有

dL/pi = 2pi + C1 = 0 ，（i = 1，2，...，n)

p1=p2=...=pn=-C1/2

因为

p1+p2+...+pn=1，

有

p1=p2=...=pn=1/n，而C1=-2/n 。

显然 L关于n维变量p1，p2，...，pn的二阶偏导数矩阵是一主对角线上元素全为正2而其余元素全为零的矩阵。因此L关于n维变量p1，p2， ...，pn的二阶偏导数矩阵是一正定矩阵，拉格朗日算子L在

p1=p2=...=pn=1/n取最小值。

平均概率=p1^2+p2^2+...+pn^2，其最小值为 1/n，当且仅当广义系统平等遍历各广义方向而成为均匀分布时，平均概率取最小值。当广义系统在任意一个广义方向的概率为1时，由于概率的归一性，广义系统在其他广义方向上的概率都必须为零，此时平均概率取最大值1。因为在广义系统最平等的时候，平均概率取最小值而在广义系统最不平等的时候，平均概率却取最大值，所以平均概率是广义系统不平等程度的量度。

证毕。

【定义】定义广义系统的不平等度NE为：

NE = (平均概率 - 最小平均概率）/ （最大平均概率 - 最小平均概率） x 100%

则有

                         NE = (平均概率 - 1/n）/ （1 - 1/n） x 100%

广义系统的不平等度NE的最大值是100%，而最小值是0。

 现举例说明。例如，假如李明的缺点和优点是三七开，那么李明的优缺点可用广义系统G来描述。

G = 0.7优点+0.3缺点=0.7（1, 0)+0.3(0, 1) = (0.7, 0.3)

G的平均概率=0.7*0.7+0.3*0.3 =0.58

G的大小或模M满足：M的平方=平均概率=0.58

G的不平等度NE=(平均概率-1/2)/(1-1/2)x100%=（0.58-0.5）/0.5x100%=16%

【用平均概率极小来求各类常见概率分布】

 张学文先生【3】2011年底开始发表用概率的平方和或平均概率最小来求概率分布，因故搁浅，到2014年底又继续此项工作。现在理应由我来继续。定理三已明确指出，当且仅当广义系统平等遍历各广义方向而其概率成为均匀分布时，平均概率取最小值。所以用概率的平方和或平均概率最小来求概率分布就是用最大平等遍历度，或最大熵詹尼斯信息熵来求概率分布。与张学文先生不同的是我向来用离散变量的拉格朗日算子来求各种概率分布。

1. 均匀分布

在无任何非自然约束条件下，平均概率所对应的拉格朗日算子为

L = p1^2+p2^2+...+pn^2+C1(p1+p2+...+pn-1)

对L求关于pi的一阶偏导数dL/dpi并令之为零（i=1，2，...，n),有

dL/dpi=2pi + C1=0

p1=p2...=pn=-C1/2

但是 p1+p2+...+pn=1

所以

p1=p2=...=pn=1/n,而C1=-2/n

又由于拉格朗日算子的二阶偏导数矩阵是正定的对角线上元素为2而其余元素都为0的对称矩阵，可以确保令拉格朗日算子一阶偏导数为零的概率分布就是使拉格朗日算子在当前约束条件下取极小值的概率分布。因此为使拉格朗日算子或约束条件下的平均概率极小，概率分布必须成平等遍历各广义方向的均匀分布。须指出的是因为当前约束条件中无任何非自然约束条件，所以平均概率的极小值也就是一切约束条件下，平均概率所能达到的最小值。

2. 幂律分布

在广义系统概率分布所对应的变量的a次方(这其中常数a是负数或<0)的统计平均值不变的约束条件下，平均概率所对应的拉格朗日算子为

L = p1^2+p2^2+...+pn^2+C1(p1+p2+...+pn-1)+C2(p1x1^a +p2x2^a+...+pnxn^a)

对L求关于pi的一阶偏导数dL/dpi并令之为零（i=1，2，...，n),有

dL/dpi=2pi+C1+C2xi^a=0

=0

pi=-C1/2-C2/2xi^a (i=1，2，...，n)

不失一般性令C1=0,就得到幂律分布

pi=-C2/2xi^a (i=1,2...n)

又由于拉格朗日算子的二阶偏导数矩阵是正定的对角线上元素为2而其余元素都为0的对称矩阵，可以确保令拉格朗日算子一阶偏导数为零的概率分布就是使拉格朗日算子在当前约束条件下取极小值的概率分布。因此为使拉格朗日算子或约束条件下的平均概率极小，概率分布必须成幂律分布。

3. 负指数分布

在广义系统概率分布所对应的变量的指数函数的统计平均值不变的约束条件下，平均概率所对应的拉格朗日算子为

L = p1^2+p2^2+...+pn^2+C1(p1+p2+...+pn-1)+C2(p1exp(C3x1) +p2exp(C3x2)+...+pnexp(C3xn)-C4)

对L求关于pi的一阶偏导数dL/dpi并令之为零（i=1，2，...，n),有

L/dpi=2pi+C1+C2exp(C3xi)=0

pi=-C1/2-C2/2exp(C3xi) (i=1，2，...，n)

不失一般性令C1=0,C3<0,就得到负指数分布。

pi=-C2/2exp(C3xi) (i=1，2，...，n)

又由于拉格朗日算子的二阶偏导数矩阵是正定的对角线上元素为2而其余元素都为0的对称矩阵，可以确保令拉格朗日算子一阶偏导数为零的概率分布就是使拉格朗日算子在当前约束条件下取极小值的概率分布。因此为使拉格朗日算子或约束条件下的平均概率极小，概率分布必须成负指数分布。

【1】冯向军，张学文，鲁晨光，组成论随想录，2004年，豆丁网。

http://www.docin.com/p-592228486.html

【2】张学文，与两位博士讨论矢量与概率，2017年6月11日

http://blog.sciencenet.cn/blog-2024-1060189.html

【3】张学文，从百分比的平方和到幂律来源等等，科学网，2014。

http://blog.sciencenet.cn/blog-2024-842250.html