译注：本文节选翻译自菲尔兹奖得主 Thurston 的一篇随笔《On proof and progress in mathematics》。原文发表于 Bulletin of the American Mathematical Society, Volume 30, Number 2, April 1994, Pages 161-177。作者剖析了科学研究中的许多心理现象。其中一些观点今天看来仍然很有现实意义。

第三部分：数学上的理解是如何交流的？

    对事物的理解，从一个人传递到另一个人，不是简单自动的。相反地，它很难很棘手。因此，为了分析人类对数学的理解，重要的是要考虑是：谁、能够在什么时间、理解什么。

    数学家们已经发展出的交流习惯，实际上往往功能失调。组织一场专题讲座时，组织者通常都在事前努力劝诫报告人：尽量用最基本最通俗的术语来解释将要讲的东西。尽管如此，在多数的专题讲座中，大多数的听众都很难收获到什么有价值的东西。也许他们在最初的 5 分钟内就开始听不懂了，尽管在剩下的 55 分钟里他们都静静地坐着。或者他们可能很快就对讲座的内容失去了兴趣，因为报告人连为什么要研究这个东西都没有说清楚，就已经陷入了技术细节。在讲座的最后，少数几位研究领域与报告人非常接近的数学家开口提一两个问题，以避免出现冷场的尴尬。

    在上课的教室里，类似的场景也屡屡出现。我们像走过场一样照本宣科地把教学大纲上我们觉得学生应该学的东西讲一遍。学生们则努力地去尝试抓住一些核心的东西：学习我们的语言，猜测我们对这些东西的心理模型实际上是什么。课本提供一些例子，帮助完成各种课后习题，通过这样的方式来进行一定的补偿。教授们则通过布置作业和考试来进行补偿（而这些作业比课程中所涵盖的内容其实要容易得多），然后对作业和考试进行评分。但实际上，完成这些作业和考试，几乎不需要深入的理解。出现这样的情况，我们总是认为问题在于学生自己而不是在于我们的交流方式：学生要么不具备领会这些东西所需要条件，要么干脆不关心能否学到东西。

    局外人会对这些现象觉得不可思议。但作为行内人，我们对此只能耸耸肩，然后什么办法都没有。

    大部分的困难与数学的语言和文化有关。数学已经被划分成了许多领域。隔行如隔山，在一个领域中的基本概念，对于另一个领域的人来说，就像另一个国家的语言那么陌生。即使是邻近领域中的基本概念，大多数数学家也放弃去尝试理解了，除非有人像讲研究生课程那样给他们从头讲起。

    相比之下，在一个较小的数学领域里，交流是非常有效的。在该领域内的人会发展出一套彼此都知道的共同的知识和技术。通过非正式的接触，人们学会理解与模仿对方的思维方式，这样就可以清楚而容易地解释其中的想法。数学知识可以在小范围内以不可思议的速度快速传播。当一个重要的定理被证明时，通常（但并非总是）发生的情况是：最关键的核心想法，从一个人当面传给另一个方向很接近的同行，只需要几分钟；同样的证明过程，让小领域内的其他成员也知道并理解的话，也只需要通过一场一小时左右的报告；等用文字写下来之后，它将变成一篇 15 到 20 页的论文，小领域里的其他人想要读懂它，就需要几个小时甚至几天了。

    从非正式的讨论，到对论文的阅读，在时间的花费上为什么会增加得如此厉害？面对面单独讨论时，人们使用的广泛交流方式可以远远超出正式的数学语言。他们会用使用手势、画一些图以及带有箭头的图表、他们能用声音效果和肢体语言来形容讨论对象的性质。并且面对面讨论时的沟通是双向的，这样人们就可以专注于最需要的核心事情。有了这些交流方式，他们就能更好地表达正在讨论的事物，不仅仅是用逻辑和语言来表达，而且还能用其他方式来领会其中的精神。

    在一场报告中，人们更拘谨，更正式。数学的听众们通常比较内向，一些明明大家都感到疑惑的问题，他们不太擅长当众问出来。另一方面，演讲者也往往有自己一套预设的大纲，尽管这套大纲不那么符合当时的实际情景。即使有听众向他提问，如果这些问题偏离原来的大纲，他也不一定愿意面对这些问题。

    在论文中，人们就显得更正式了。作者会把他们的想法翻译成数学符号与逻辑，然后读者得去尝试把符号与逻辑重新翻译成原始的想法。

    在小领域内以及相邻领域之间都有如此多的沟通障碍，更不要说和数学以外的领域沟通了。这种沟通障碍产生的原因是什么？

    在某种意义上来说，不同领域的数学还是有着一些共同的语言的：符号系统、技术性的定义、计算、以及逻辑。这种语言有效地传达了一些、但不是全部的数学思维模式。数学家们往往在不知不觉之间就把一种心理模式中的东西翻译成用另一种语言表达，从而一些陈述迅速变得清晰起来。每个数学家都有他自己的读论文方式。当我读一篇我熟悉的领域里的论文时，我会专注于字里行间的想法。我可能会在看完几大段或者一系列的方程之后，对自己说：“哦，他们为了把这个想法说清楚，用了太多不必要的话。”当一个想法很清晰的时候，形式上的设定通常是不必要和冗余的。我经常觉得我自己可以把它更容易地写出来，而不需要弄清楚作者到底写了什么。这有点像你拿到一个新的烤面包机，附带有 16 页说明书。如果你先前已经了解烤面包机大概是怎么样的，并且这台新烤面包机看起来和你之前见过的烤面包机差不多，你就可以直接把面包塞进去，看看它是否工作，而不需要先阅读说明书中的所有细节。

    若某人对一个领域里的各种处理手法比较熟悉的话，他能很快地从各种陈述套路与公式之中辨认出其中真正的想法，把习惯用语和迂回累赘的说法自动过滤掉，提取出对方真正想说的概念或者内心所想的图像。但是对那些还不熟悉该领域的人来说，这些陈述方式往往容易把人弄晕甚至带到沟里去。这些语言只有对正在使用它们的人来说才是活的，对于其他人来说就是天书。

    在这里我想作一个重要的说明：有些数学家能够精通不止一个领域的思考方式，有时候甚至是许多个领域他都很熟悉。他们部分是因为在念研究生的时候就学习过好几个领域里的基本语言；部分是因为具备能很快地从陌生的数学语言和文化中跟上节奏的能力；还有部分是因为身处数学研究中心从而能够接触到来自很多不同领域的人。熟悉多个领域的人通常能带来积极地影响：他们可以作为沟通的桥梁，帮助来自不同领域的数学家们相互学习。但有时这类人也会带来负面影响：他们装腔作势吓唬别人，使得两个本来就严重缺乏沟通的领域之间的隔阂更加严重。例如，下面这种在专题讲座上经常发生的事情就会产生以上提到的恶果：一两个知识渊博的大佬坐在第一排，在心理上引导着演讲者，同时给听众带来无形的压力。

    我们看待数学以及我们书写数学的方式还会带来另一种效果。一群数学家相互交流，可以让一系列数学想法在某段时间内保持活力，尽管他们实际所想的和最后记录下来成为文字版本的数学著作不同——他们更强调语言、符号、逻辑和形式主义。但是随着新一批数学家了解这个主题，他们会倾向于用文字上更浅显易懂的方式来解释他们所读和所听的内容，以便其中的形式和方法技巧能被更容易地记录下来、更容易地用于沟通。随后它们又反过来逐渐替代人类原有的思维模式。

    这种趋势有两种表现，因此数学不会完全陷入形式主义的泥潭。首先，年轻一代的数学家们会独自不断地为旧的知识发现新的见解，从而为数学重新注入各种各样的人类思维模式。其次，数学家有时会发明新的名词，并使用统一的定义来代替原来那些过于技术性的表达，为产生新的见解作好铺垫。例如，用“群”来代替“满足……条件的一组变换”。又例如，用“流形”来代替满足以下这一大段话的东西：

    “我们不能给出一组方程的公共解空间的整体坐标参数化。但是在公共解空间的局部，我们可以引入坐标

    (f_1(u_1, u_2, u_3),

     f_2(u_1, u_2, u_3),

     f_3(u_1, u_2, u_3),

     f_4(u_1, u_2, u_3),

     f_5(u_1, u_2, u_3))，并满足以下条件：

    在 5 个函数里面任挑 3 个，都能给出相应地 3*3 偏导数矩阵的行列式。而这 10 个行列式中至少有一个不是零。”

    对于专家来说，这样的名词替代也许不能带来洞察力方面的进步，但是它的确大大方便了我们在见解上的交流。

    我们数学家需要投入比现在远远多得多的努力来进行数学思想的交流。为了做到这一点，我们需要更多地关注沟通方式：不仅仅是我们的定义、定理和证明，更关键的是我们的思考方式。我们需要欣赏不同的思考方式对于领悟同一个数学结构所带来的价值。

    我们需要把更多的精力集中在去理解和解释那些为证明重要数学定理所需要的前期知识上，而花在最新结果上的精力应该适当放少一些。这就需要开发一种有效的数学语言，以实现下面这个根本性的目标：向那些尚不了解这些数学知识的人传达其中的思想。

    这种沟通的一部分就是通过证明。