11.4 旋度

   旋量是为了扩充描述一个完整的矢量的旋转过程而引入的一个数学量，但并不仅限于此。一般而言矢量用于实空间，而旋量常出现在复空间。

  在3D图形学中，旋转是三种坐标变换———缩放、旋转和平移，中最复杂的一种。程序员们常常选择‘四元数’作为旋转表示方法，因为比起笛卡尔坐标矩阵来，四元数具有节省存储空间和方便插值的优点。

  四元数本质上是一种高阶复数。

  我们都知道，复数由实部和虚部组成，即x = a + bi，i是虚数单位，i^2 = -1

  相对于复数对应二维空间，四元数对应四维空间。它有一个实部和包含了三个虚数单位的虚部，i、j、k，即一个四元数可以表示为x = a + bi + cj + dk

  量子力学中的泡利矩阵可以四元数表达，相对论的时空一体也可以四元数表示。实际上，四元数作为结构化的旋量，在量子场论、电动力学与广义相对论中有广泛的应用。四元数甚至可以用来取代很多特定的张量模型表示。其实质是因为，张量的多重子结构可以多种子参照系并存，比如笛卡尔坐标系中镶嵌极坐标系，n维欧式空间中嵌套四元数旋量拓展为变化曲率的黎曼几何。

   因此，凡是涉及旋转的问题，无论是动漫中的“旋转”，或是量子力学中的“自旋”以及狄拉克“旋量”，都可以用四元数表达。

   并且，四元数还能有效表达“旋度”：

   上一节提到，相对论之所以匪夷所思，是因为时空一体空间的‘距离’是‘复距离’。因为复空间时空一体必然包含旋量，所以向量空间（一阶逻辑）解释相对论很诡异。

   显然，旋量在时空一体相对论中占有特殊地位。

   我们知道，相对论最重要的假设是光速恒定。而光速恒定的概念并不是爱因斯坦拍脑袋灵光一现出来的，它源自麦克斯韦方程：

   换句话说，相对论闵科夫斯基四维空间的“旋量”和麦克斯韦方程的电磁场“旋度”有深刻的内在渊源。

   进一步看，“旋量”常常用于表达粒子自旋内禀属性，是元素属性；而“旋度”则是场论的基本概念，是系统属性。

   如本文10.4节介绍，通过线性变化，元素概念和系统概念是可以相互转换的。

  （比如，一般疾病检查只需要抽血看看多少个白细胞即可。但是简单地数数几个白细胞对于某些疑难杂症是不够的，这时医生诊断可能需要进一步检查病人细胞内部的成分信息，判断是否某遗传类疾病。当医生数白细胞个数时，白细胞是作为元素的信息；当医生分析细胞内部成分结构时，细胞展现出系统的信息。）

   元素和系统信息的相互转换，这对于深度学习人工智能的多层次抽象空间，有重要意义。如果深度学习分析误差过大，则表明特征粒子精度不够。如果特征粒子精度不够，则需要探究本来作为元素的粒子内部的结构，以便审视更加细微的特征属性。而当我们打开粒子内部的结构时，实际上是把粒子看作了系统，而不再是元素。

   有意思的是，如果我们以这种（元素和系统角色可以相互转换）“深度学习”逻辑模型的视角，来看待相对论的尺度膨胀，会豁然开朗。

   因为闵科夫斯基四维空间有个维度包含了一个i，这意味着时空一体的四维空间并非普通意义的线性空间，而是隐含了“旋量”的张量空间。因为时空一体必须扩展为张量才能完备，这时，如果以多层次线性空间来观察， 则相对论的尺度线条会地衍生出一层又一层褶皱，相当于线条长度伸缩，而其中所谓的‘无穷远距离’也许只不过是‘一圈又一圈原地“旋转”’而已：