7.6 波粒二象性

   中国民间有一本易学神书《推背图》，推算了唐朝以后中国2000多年的未来，神书最后推演出皆大欢喜的世人憧憬的美好未来－－－天下大同。

   实际上，同样的观点，各地各民族文化基本上都是大同小异的，人类文明最终都将归于大一统。

   欧几里得的《几何原本》的思想根基是一统江山、牛顿的《自然哲学的数学原理》的思想根基是一统江山、希尔伯特之梦的思想根基是一统江山......

   爱因斯坦在创建相对论时就意识到，自然科学中“统一”的概念或许是一个最基本的法则。还在30年代爱因斯坦就着手研究“大统一理论”，这一工作几乎耗尽了他后半生的精力，在爱因斯坦的哲学中，“统一”的概念深深扎根于他的思想中，他越来越确信“自然界应当满足简单性原则”。虽然“大统一理论”现在仍然没有成功，可是建立统一理论的思想却始终吸引着成千上万的物理学家，因为那是永垂不朽的历史丰碑。

   弦理论是被认为是未来统一场理论的集大成者，量子力学和相对论不可调和的现状一直没有被改善，弦理论也许能给出终极答案。弦论的一个基本观点是，自然界的基本单元不是电子、光子、中微子和夸克之类的点状粒子，而是很小很小的线状的“弦”。

   本文反复提到的复平面简谐振动波exp(ipr)，它是所有线性时不变系统的共同本征函数系，具有放之四海而皆准的意义，也具备普天之下莫非王土的大一统气概。

   前面的‘5.4高斯函数’章节曾经提到 ，exp(ipr)是高斯函数的本证函数，即exp(ipr)是高斯波包的本证态。乍看之下，有些 一时难以让人接受。因为教科书中一般是把高斯波包ψ(r)本身和其傅立叶变换函数φ(p)看作波函数（量子态）。

   但是，另一方面，我们知道在傅立叶分解时，其实是把exp(ipr)作为谱分析的特征基，而把原函数ψ(r)看作其傅立叶变换函数φ(p)在特征基exp(ipr)上的投影值。如果把exp(ipr)作为特征基，当然也就意味着exp(ipr)是φ(p)的本证态。

   如果把exp(ipr)看作量子本征态，有什么隐深意义吗？

   我们知道exp(ipr)是高斯波包的本证态，exp(ipr)也是所有线性时不变系统的共同本征函数系。免不了心里犯嘀咕，高斯函数是‘线性时不变系统’吗？

   进一步审视这个魔一般的高斯函数，越发感到熟悉而陌生。

   这个大名鼎鼎的高斯波包先生，自变量头顶一个平方帽子，脚下骑一匹e指数马，怎么看也不可能是线性的啊？？

   这里面似乎隐藏着什么秘密，嘿嘿嘿！

   再回头看看傅立叶变换 Ψ= exp 。φ ：

   打个坐，吸口气。。。吧拉拉魔法大变身，呵呵，再看：

   注意，当把exp(ipr)看作基矢量时，一目了然，ψ(r)系统和φ(p)系统之间是典型的线性关系。

   深入分析：

   1、在有限维度的情况下，这就是典型的向量空间（线性空间）。

   2、我们道，p或r为自变量连续取值两两不同时，得到exp(ipr)本证函数系正交基，这里的p或r连续取值意味着基矢量对应于其微分形式，即ψ(r)函数和φ(p)函数之间线性关系是“基于其微分形式的”。

   3、如果exp(ipr)的特征维度为阿列夫2，则这种‘微分形式线性关系’超出了向量空间的逻辑范畴（向量的表达范围不能突破连续实数所能度量化的阿列夫1维度极限）。因此，对这种‘线性关系’的度量，不得不由平面矩阵扩展到高阶张量，转换为前面说过的张量空间的多重线性关系。

   更加让人兴奋的是，显而易见的是，这种细分微分之下构造出的‘微分形式线性关系’，正是“流形”微分几何的真谛！

      微分几何特别关注弧线，它把非笔直的弧线每个微小部分看作一段一段的微小直线段，然后在多重直线段模式下，进行多重线性分析，光滑图形通过微分构造出的这种‘偏微分形式线性关系’。微分几何的实质，是把有限维欧几里得空间的维度扩展。比如把x坐标轴，扩展为dx1坐标轴、dx2坐标轴、dx3坐标轴......dxn坐标轴等等为新坐标轴的无穷维度空间。原本欧式空间x坐标轴下的曲折蜿蜒的弧线，在新的‘微分基矢量’dx1>、dx2>、dx3>......dxn>下变成了‘微小直线段’的组合。这样，有限维的欧式几何扩充成了无穷维的微分几何，非线性的曲线转换成了微分形式‘线性空间’，于是非线性关系变成了线性关系（或者多重偏线性关系）。显然，以微分dx1>、dx2>、dx3>......dxn>为基矢量的无穷维空间，对应于“连续无穷维矩阵”（或者扩展到更广阔的高阶张量）。

   纷繁复杂的羊肠小道在微分几何中汇集成了通坦宽阔的康庄大道，解决了人类从未企及的复杂分析，比如广义相对论。

   既然广义相对论是基于多重偏线性系统的、其理论亘古不变，也许可以刨根问底的探索：

   它是线性时不变系统吗？【注：1、交错k维线性形式是向量空间V的对偶空间V^*的反对称k阶向量积的一个元素。2、向量场可以看作是时不变的微分方程组。】

   既如此，广义相对论的黎曼几何能以exp(ipr)作为特征基吗？

   如果回答是肯定的，那么exp(ipr)将成为“大统一理论”的共同本征函数系。进一步看，如果复指数exp(ipr)是普遍适用的特征粒子，那么基于复指数的“深度学习”，也许将催生放之四海而皆准的通用人工智能。

   好吧，普天之下莫非‘波’，但是波exp(ipr)多达阿列夫2维度，阿列夫2维度空间复杂程度超乎想像，如果不可企及的复杂对我们又有什么意义呢？

   万幸，当上帝创立了‘波’的时候，也创立了它的配偶－－－‘粒子’

   前面提到过，如果是噪音波，那么它的对偶域还是噪音，无规律可言，这当然毫无意义。但如果某种波内涵某种规律性，则会在其对偶域体现为某种收敛性，即粒子性。

   请注意，只有具备某种粒子性能够体现“一个”整体特征的系统才能称其为“张量”。乌合之众、杂乱无章、毫无规律、一盘散沙的一堆数据不是“张量”。由一个“点”数据扩展而来的一堆“张量”数据，当然可以回溯为一个收敛的“点”。另外，也只有可以收敛为一个点的那样一堆张量数据，在整体上才具备意义。 因为只有在整体上能够收敛为“粒子”的系统，才具备逻辑分析中“元素”的概念，才可以进行逻辑点轨迹分析。

   因此，一个收敛的“张量粒子”，必然在某些方面呈现固有不变的‘点数据’属性。

  比如，无论骰子如何随机性，骰子的数学期望永恒不变。

    骰子的数学期望  = Σ（1+2+3+4+5+6）*(1/6) = 3.5

    可以看出，通过计算1、2、3、4、5、6在六维度的系统整体概率，通过空间折叠我们将得到一个一维空间的骰子数学期望值3.5

    请注意，虽然每一次抛骰子出现的点数是不确定的，但因为数学期望值是随机系统的固有属性，所以骰子的数学期望值是一定、肯定、确定的（总是等于3.5）

   又比如，无论矩阵如何变换，矩阵对角线的元素之和永恒不变。

   简单证明：

   行列式|λE-A|

   根据定义，行列式是不同行不同列的项的乘积之和

   要得到λ^(n-1)只能取对角线上元素的乘积

   （λ-a11)(λ-a22)...(λ-ann)

   所以特征多项式的n-1次项系数是-(a11+a22+...+ann)

   而特征多项式=(λ-λ1)(λ-λ2)...(λ-λn),n-1次项系数是-(λ1+λ2+...+λn)

   所以a11+a22+...+ann=λ1+λ2+...+λn

   再比如，无论频域和时域如何怪异，其对偶空间样本值之和永恒不变：