5.4 高斯函数

  同样一条数学结论可以在多个截然不相干的学科分支中都产生历史性的影响，这大概是相当罕见的例子了。但是众所周知，不确定性原理本身并不是以抽象见长的数学家的发明，而是来自于量子物理学家的经验事实。

　　海森堡在 1927 年的发表文章《量子理论运动学和力学的直观内容》，提出了后来被人们所熟悉的关于为什么无法同时测量一个电子的位置和动量的解释，他把他的结论笼统地表达为 Δx Δp ≥ h，其中 x 是位置，p 是动量，h 是普朗克常数。第一个从数学上证明不确定性原理的物理学家是 E. Kennard。他在 1927 年证明Δx 和 Δp 的数学意义其实是概率术语“方差”。这种解释很快就成了海森堡不确定性原理的标准数学表达。

   尽管不确定性原理在很多领域攻城略地大获全胜，但它之所以倾国倾城声名鹤起还是因为量子力学。

   所以，要弄清楚不确定性原理的随机性现象本质，要弄清楚不确定性原理的不完备性内涵本质，最好是回到诺贝尔奖成堆堆的量子力学中继续深入探讨。

   首先，我们来探讨一个量子力学中不确定性原理的特例－－－高斯函数。

   高斯函数应用范围很广，在自然科学、社会科学、数学以及工程学等领域都能看到它的身影。    

   高斯函数的不定积分是误差函数。

   在统计学与概率论中，高斯函数是正态分布的密度函数，根据中心极限定理它是复杂总和的有限概率分布。

   高斯函数是量子谐振子基态的波函数。

   计算化学中所用的分子轨道是名为高斯轨道的高斯函数的线性组合（参见量子化学中的基组）。

   在数学领域，高斯函数在埃尔米特多项式的定义中起着重要作用。

   高斯函数与量子场论中的真空态相关。

   在光学以及微波系统中有高斯波束的应用。

   高斯函数在图像处理中用作预平滑核。

 　高斯函数是量子力学不确定性原理的最简单、最典型、最清晰、最有说服力的例子。

【命题】高斯函数与其傅立叶变换函数的共同谱分析本征函数exp(ikx)系不完备

【证明：

（步骤一：高斯函数原函数与其傅里叶变换函数，存在不确定性关系）

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[注1：这是基于连续无穷维矩阵（连续无穷维傅立叶谱分析）的表达式。]

　　　（步骤二：高斯函数原函数与其傅里叶变换函数，存在一组共同本征函数exp(ikx)  ）

先证明高斯函数的傅立叶变换后还是高斯函数:

证明了高斯函数的傅立叶变换后还是高斯函数，其实也就间接说明了高斯函数之间具备共同本证函数。

我们知道在傅立叶分解时，其实是把exp(ipr)作为谱分析的特征基，而把原函数ψ(r)看作其傅立叶变换函数φ(p)在特征基exp(ipr)上的投影值。如果把exp(ipr)作为特征基，当然也就意味着exp(ipr)是φ(p)的本证态。

设高斯函数傅立叶变换函数为φ(k)，高斯函数原函数为ψ(x)，有：

　　知：exp(ikx)是高斯函数傅立叶变换函数φ(k)的本证函数

　　又，由于高斯函数的傅立叶变换后还是高斯函数，可知exp(ikx)也是高斯函数原函数ψ(x)的本证函数。

[可能有细心的朋友注意到，高斯函数ψ(x)和其傅立叶变换函数φ(k)的变量不一样，一个是x、另一个是k ，所以其本证函数exp(ikx)代表的函数意义也不一样。 如果x和k是完全独立的，那么exp(ikx)(k)和exp(ikx)(x)当然意味着不同的函数。但是，量子力学中的x和k并不独立，而是互为复数导数，比如动量p等于（－id/dx）。同时，因为变量也就是说x和k对于高斯函数而言是完全对等的，因此x和k可以视作相同的自变量，exp(ikx)(k)和exp(ikx)(x)可以理解为高斯函数同一自变量的对等函数。]

很显然，exp(ikx）既是高斯波包原函数的本证函数、同时也是高斯函数傅立叶变换函数的本证函数。事实上，高斯函数原函数和高斯函数傅立叶变换函数，其实都是高斯函数。也就是说，高斯函数本身就是傅立叶变换的特征函数。高斯函数是傅立叶变换的特征函数, 这就意味着高斯函数的傅立叶变换不仅仅是另一个高斯函数，而且是进行傅立叶变换的函数的标量倍。既然不同高斯函数之间区别仅仅是系数不一样，它们当然具有共同的本证函数。当然也就不奇怪exp(ikx）是其中一个的本证函数，也就肯定是另一个的本证函数。

　　（步骤三：高斯函数与其傅里叶变换函数的以exp(ikx)为基的共同空间不完备）

　　反证：如果矩阵表达的高斯函数和其傅立叶变换函数的以exp(ikx)为基共同空间是完备空间，由对易算符定律：

　　则推导出，存在一组完备的共同本征函数系exp(ikx)，使高斯函数和其傅立叶变换函数的矩阵表达式对易，这与上面‘步骤一’关于这两个函数存在不确定度关系的结论矛盾。

　　所以，矩阵表达的高斯函数和其傅立叶变换函数的共同本征函数exp(ikx)系统空间不完备

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[注2：exp(ikx)，常常也记作exp(ipx)、exp(ipr)、exp(ipq)、exp(iEt)、exp(ist)等等。即自然数e的ipx次方，其中i是复数符号、p和x分别是傅立叶变换中的函数变量。]

   证明简洁、无懈可击。

　　高斯函数的共同exp(ikx)特征基系居然是不完备的！

   因为证明简单明了，所以当发现它会体现出幽灵般怪异的推论时，更让人匪夷所思、瞠目结舌、百思不得其解。我们知道，傅立叶谱分析可是建立在希尔伯特空间之上的，难道柯西收敛的连续无穷维希尔伯特空间居然是不完备的吗？

　　逆天了，真活见鬼了

   如果你对傅里叶分析感兴趣，你一定会注意能够“时空穿越”（傅里叶变换的特征函数）的高斯函数，它如此完美！

   如果你是一个理工科学生，那么肯定见过它、熟悉他、了解它、喜欢它，因为它简单、典型、清晰！

   如果你稍许了解高斯函数在科学理论中的特殊地位的话，你一定会惊叹呀它的典雅、中庸、和谐！

　　但是，但是，“高斯函数的exp(ikx)本征函数系居然是不完备的”，这个结论太令人不安了。这是惊天动地的、惊世骇俗的、让人窒息的、颠覆性的，每一个读懂它的人必定目瞪口呆、手脚战栗、脊背冰凉、一身冷汗、口吐白沫、七窍流血

   鉴于高斯函数的广泛性，上面证明的结论应该早就有人注意到的，但奇怪鲜有人提及。

   莫非，这是一个潘多拉盒子，里面藏着不为人驯服的妖怪？