第五章 无所不在的exp(ipr)

5.1 傅里叶变换

　　要进一步说明“不确定性原理”的实质（参照系维度不完备），需要重新回顾不确定性原理的渊源。而欲弄清楚量子力学不确定性原理的根源，不得不从充满神奇魔力的傅里叶变换讲起。

　　1807年，法国数学家傅立叶向巴黎科学院递交了一篇论文《固体中的热传播》，在这篇研究热传导问题论文里的有一个当初并不起眼的副产品：任何一个信号（或者说一个函数）都可以表达为一系列不同频率的简谐振动（即平面波）的叠加。

　　大概意思是，任何一个信号都可以用两种方式来表达。

   一种就是通常意义上的表达，自变量是时间或者空间（称为时域或空域）的坐标；

   另一种则是把一个信号展开成不同频率的简谐振动的叠加，相当于把它看作是定义在自变量是频率所组成的空间（称为频域空间）上的另一个变态的函数。

   把一个信号理解成一个定义在时间或空间上的函数是一种自然而然的表示方式，但是它对理解这一信号的内函来说常常不够。例如一段声音，如果单纯按照定义在时间上的函数来表示，它画出来是这个样子的：

   这通常被称为波形图。毫无疑问，它包含了关于这段声音的全部信息。但是同样毫无疑问的是，这些信息的内涵（美妙的旋律）没法从上面这个“函数”中直接看出来。

   事实上，它是巴赫的小提琴无伴奏 Partita No.3 的序曲开头几个小节。

   音乐家当然不可能刻画复杂的曲线来进行创造写作，他们有自己的语言，这种语言是通过音阶（频率）来谱曲。而这另一种语言也构成了对上面那段声音的一个描述，下面是巴赫的曲谱手稿：

   这两种描述之间的关系是怎样的呢？

   第一种描述刻划的是时间或空间上的具体的信号数值，第二种描述刻划的是声音的高低（即声音震动的频率）。

   人们到十九世纪才渐渐意识到，曲谱中在这两种描述之间，也许存在着一种对偶的关系。然而这一点在其它领域并不显然，所以直到傅立叶变换理论成熟之前，并没有引起广泛的重视。

　　如果我们比较同一个信号系统在时域和频域的图形，看起来的样子通常大相径庭、截然不同（如上图左右两边的图形）。

   一个定义在时域上，一个定义在频域上，它们是在以完全不同的方式，殊途同归地描述着同一个信号。尽管表面看起来的样子通常毫不相干，表面上杂乱无章的背后，却可能隐藏着清晰简洁的相通的脉络。它们就象是两种不同的语言，乍一听完全风马牛不相及，但其实可以精确地互相翻译。这种翻译就象是把信号彻底打乱之后，以最面目全非的方式展现出来，而一切信息都还原封不动的存在着。

   这个从一个领域到另一个异域的神奇翻译官，称为“傅立叶变换”。

   现在我们知道时域和频域的内在联系，并非曲谱所独有。

　　我们郎朗爽口的物理学的波粒二象性就是傅立叶变换一个简单例子。

   甚至，傅立叶变换在不同领域的广泛的巨大冲击力，连傅立叶本人也始料未及的。

   并且，在傅立叶变换中常常提及的时域和频域只是一种俗称，时域和频域不仅仅局限于时空和频率。虽然不同领域中傅立叶变换的数学抽象形式上一样的，不同学科中的傅立叶变换的两端有不同的内涵，意义非常广泛。

   事实上，革命性的傅立叶变换包含了最深刻的宇宙的秘密，博大精深神奇魔幻。

　　在傅立叶变换所有秘密中，最意味深长、最不寻常的是关于无限和有限的。

   一方面，傅立叶变换能够把某些初看起来非常杂乱无章的甚至无穷无尽的东东，变换为异常简单的有限的东东。这告诉我们傅立叶变换可能把无规律大数据变换成有规律简单信息，而这正是人工智能通往智慧之路的桥梁。

   另一方面，对异常简单的东东通过傅立叶变换必然变成无限的广阔。信号函数的这种特殊性质证明了无穷大的不可或缺的深刻意义。

   比如，一个在时域上看起来很复杂的信号通常在频域上的表达会很简单。例如上图是一张空域的人脸图像和它对应的频域，一方面空域的人脸图像是内涵丰富而复杂，另一方面傅立叶变换的频域图案异常简洁，所有的频域信号差不多都分布在中心周围，而大部分周边区域都是黑色的（即数值为零）。

   对比两张图像我们不难发现一个在空域中看起来占满全空间的信号，从频域中看起来很可能只不过占用了极小一块区域。

   这一理论的意义很快在计算机领域得到应用，一段看起来信息量很大的数据信号，其实可以只用少得多的数据来加以描述。只要对它先做傅里叶变换，然后只记录那些不接近零的频域信息就可以了，这样数据量就可以大大减少。基本上，这正是今天大多数数据压缩方法的基础思想。在互联网时代，大量的多媒体信息需要在尽量节省带宽和时间的前提下被传输，所以数据压缩从来都是最核心的问题之一。而今天几乎所有流行的数据压缩格式，无论是声音的 mp3 格式还是图像的 jpg 格式，都是利用傅立叶变换才得以发明的。从这个意义上说来，几乎全部现代信息社会都建立在傅立叶的理论的基础之上。

   　傅立叶变换是一个数学上极为精美的对象：

　　它是完全可逆的，任何能量有限的时域信号都存在唯一的频域表达，反之亦然。

　　它完全不损伤信号的内在结构：任何两个信号之间有多少相关程度（即内积），它们的频域表达之间也一定有同样多的相关程度。

　　它不改变信号之间的关联性：一组信号收敛到一个特定的极限，它们的频域表达也一定收敛到那个极限函数的频域表达。

   它将复杂的卷积变换成简单的乘法运算，这实际上是一种空间重构的方法。

   它能轻而易举实现空间维度的扩展，实现更高层次的剖析分析。

   它可能将一群表面杂乱的碎片化数据表达为一条简洁的信息（这对于大数据时代深度学习人工智能尤其有意义）。