3.2 积分∫和 西格玛∑

   虽然让人困惑，但是关于无穷大的问题是无法避免的。曾经那些放弃无穷大概念的呼声，早已被抛到九霄云外，而且永远不可能翻身。

   因为如今很时髦的傅里叶变换理论已经证明，任何有限定义域的函数，其傅里叶变换后一定是无限的。物理上的波粒二象性就是这个理论的一个例子。也就是说，任何（请注意是任何）有限的东东一定伴随着一个无限的影子。

　　咦，真的吗？（后面会引用这个证明，其实就一句话，嘻嘻。不过要看懂这一句话，需要大量的基础知识）

　　可见、可触摸、可实验验证，有限的物理量是我们的支点，没错。

   但如果永远停留在支点故步不前，那不是井底之蛙吗，天空的广阔需要勇气，需要大胆跳出来欣赏。如果放弃无穷的观念，最起码地，微积分何去何从？

   背着无穷大的微积分无处不在，无论是理科生还是文科生、无论是高中生或是大学生，都会碰到。虽然这个去了一横的f，向蚯蚓一样让人讨厌黏人。但不可否认，作为一个现代人，你无法抛弃它。因为它是现代文明的标志之一。

   另一个符号西格玛，也是数学的常见符号。使用之频繁，相信每一个人都麻木漠漠、见惯不怪了。

   可能数学恐惧症的你不曾留意，积分∫和西格玛∑本质上是一回事，都是连加符号，都表示求和，而且都可以加到无穷。

   但是，但是，但是，各位，既然都是连加求和运算，干嘛要搞出积分∫和西格玛∑两个不同的符号呢？

   熟悉而陌生，曾经年少好奇的你也刨根问底想过这个问题吗？

   一般老师会告诉学生，积分∫用于连续函数，西格玛∑用于离散函数。

   那么连续函数和离散函数的区别又是什么呢？

   区别在于：连续函数的变量是不可列的，对应的∞是‘阿列夫1’ ；而离散函数的变量是可列的，对应的∞是‘阿列夫0’

   其实积分∫和西格玛∑的本质区别也在于此，在于其中的∞无穷大。

   积分∫的那个∞无穷大是‘不可列的’，不可列的无穷大是‘阿列夫1’，所以积分符号的无穷是‘阿列夫1’

   西格玛∑的那个∞无穷大是‘可列的’，可列的无穷大是‘阿列夫0’，所以西格玛∑符号的无穷是‘阿列夫0’

   原来如此，难怪！难怪！

   无穷大真的不只一个，真的有好些种呢！

   醍醐灌顶、豁然开朗

   《庄子.天下篇》有句名言：“一尺之捶，日取其半，万世不竭。” 意思是：一尺长的捶子，今天取其中一半，明天再取其一半的一半，后天再取其一半的一半的一半，总有一半留下，所以万世不竭。这是中国古人对无限的理解。小得意，自豪。咱们两千多年前的老祖宗，就已经毫不含糊有了数字无穷大的概念，数学圈扬眉吐气了一把。 现代知识武装过的我们知道，以这种一刀一刀砍出来小段棍子，其实就是一个有理数的数列，是一列有理数，因而有理数是可列可数的，有理数的全体构成了一种无穷大，即‘阿列夫0’。自然数的的通常理论中，皮亚诺算术公理系统从n+1维递归到无穷维度，这个参照系是一个离散无穷维空间（阿列夫0维度线性空间）。

   文艺复兴之后，古希腊的思想在欧洲如雨后春笋生根发芽。有幸一览古希腊内功心法秘籍《几何原本》的牛顿同学，终成一代大侠，创立了微积分。微积分把无穷大的级别由阿列夫0版升级到阿列夫1版。人类的视野从此上升到一个崭新高度。后来，数学大师希尔伯特又进一步引入连续谱分析的理念，将微积分和线性代数合而为一，创造了连续无穷维希尔伯特空间（阿列夫1维度线性空间），为量子矩阵力学开辟了前所未有的广阔沃土。

   我们已经知道，阿列夫0是无穷大家族中最小的一个。虽然同是无穷大，但阿列夫0比阿列夫1小得多，到底小到什么程度呢？

   康托尔老师告诉我们，‘离散’的阿列夫0 和‘稠密’的阿列夫1比较，不过是沧海一粟、微不足道。 哪怕取很小很小的一小段连续实数中的无理数（即阿列夫1），

   【比如从0到0.0000000000000000000000000000000...........1中那么一丁点儿小段】,也比所有的有理数全体(即阿列夫0)大得多得多！！！！！！

   啊，啊，啊！

   一句话惊醒我梦中人

     借此, 顺便提下物理学两个著名的公式（瑞利-金斯公式）、（普朗克公式）：

     看见了吗？ 这两个公式基础形式几乎一模一样，只不过一个积分∫表达式，另一个是西格玛∑表达式。

     但是，就这点区别，一个导致了经典物理“紫外灾难”的乌云（瑞利-金斯公式），另一个是开创全新的量子时代的金钥匙（普朗克公式）。