2.6 超越数

   据说福特公司早年有一套重要设备突然出现故障，找了很多人来维修，结果都没有维修好。没办法，只好高价请来一位老师傅过来试试。老师傅围着机床转悠了半天，最后在机器左下角画了个小圈，告诉工厂的小技工打开这里，把此处的螺丝换一个。新螺丝拧紧，开机，果然恢复如初。福特老板问老师傅维修费用多少钱，他说要一万美金（当年一万美金很值钱）。大家都唏嘘不已，感觉被敲竹杠了，不就是画了个小圈吗？况且换螺丝还是工厂自己的人动手的。老师傅答：“在这里画一个圈不值钱，只要一元钱；知道在这里画圈才值钱，值九千九百九十九元。”

   在哥德尔论文《论数学原理和有关系统的形式不可判定命题》中，最终画的那个圈，诡论命题，只花了一点点篇幅。虽然大多数人注意的是那个画龙点睛的刺目的圈圈，但是正确发现圈圈的过程也许才更有意义。 实际上，这个发现过程的意义非常深远。虽然也许由于它过于繁琐，反而极易让人逃避和忽略。

   哥德尔的不完备性定理的复杂证明，其核心思想大致可以分为这样的三个步骤：

   【第一步：数字化同构】

　　“色不异空、空不异色；色即是空、空即是色。”这是佛教智慧核心经典《心经》的语句。这里“色”指实体物质，“空”指因缘法则 （缘起性空）。很明显，佛家的因缘法则，实际上就是自然逻辑、宇宙逻辑的含义。万法皆空、因果不空，佛教对实体物质和自然逻辑的关系的理解是智慧的。类似的含义在诸子百家也有，比如道家说阴阳五行、儒家说中庸和谐。但是，无论佛家、道家、儒家，智慧的表达都是非度量的，是模糊笼统的概念。

   模糊笼统言语，两千年前的先人说出来，是聪慧睿智远见卓识；但是，模糊笼统言语，两千年后的后辈说出来，则无异于空话套话大话废话。数字化、数据化、数量化，才是高级形式。现代社会，无论是学术论文、或是分析报告，没有数值度量、没有详实数据、没有计算公式，那就根本不可能有精确严谨，则无异于nonsense。

   哥德尔的奇思妙想，就是把自然语言数字化。

   因为自然语言可以转换为形式逻辑、而形式逻辑可以演算成命题范式、而命题范式可以展开称为标准的逻辑门、并且逻辑门可视作一种二进制代码。逻辑门“与”可对应为1，逻辑门“或”可对应为10，逻辑门“非”可对应为11。然后二进制数再转换成小数，如0.1，0.01，0.11。因为组合逻辑运算不过是这三种码的组合，所以即使非常复杂的逻辑门组合，也只是小数点后的尾巴更长点而已，仍然还是个小数。

   轨迹如下所示：

   自然语言—>形式逻辑—>命题范式—>逻辑门—> 二进制数—>小数

   也就是说‘自然语言系统’转换的命题逻辑门，恰巧可以对应于一个‘算术公理系统’的自然数。哥德尔通过一种十分新颖的同构映射形式，把‘自然语言系统’和‘算术公理系统’联系到了一起。然后，对于原本并不严谨的自然语言的语义的证明，也就变成了惯常熟知的相对简单的严格算术证明。

   哥德尔天才的洞察力，发现了‘自然语言系统’和‘算术公理系统’的映射同构关系，这是解决自然语言系统语义歧义的关键！

   哥德尔在文中大量篇幅花费在十分繁琐的映射定义上。映射是数学研究中极为重要的一种研究方法，其基本思想就是借助一一对应使得某一领域内的对象之间的某种关系得以在另一领域内的对象之间的关系得到表现。大自然总是这样的神奇，两个乍看起来毫无联系的系统，它们内在的结构却可能存在同构关系。正因为不同的系统存在同构性，才使得数学“抽象”成为可能。

   多说一句，自然界广泛的同构关系，不仅是哥德尔不完备性定理证明的关键，也是数理逻辑、是人工智能、是人类智慧的核心。

   【第二步：递归－分数.有理数】

   理发师悖论提出后，数学家们纷纷提出自己的解决方案。人们希望能够通过对基本集合论进行改造，通过对集合定义加以限制来排除悖论，这就需要建立新的原则。当一个形式逻辑体系出现上述悖论时，就用一个更大的逻辑体系去把它包了，让原先那个逻辑体系作为更大的逻辑体系的子集合。当然这样做的结果，新的母体系又可能产生新的矛盾。但这也没关系，只样类似地一层一层地包下去，以致于无穷。有了这样的“递归”工具，依此类推，似乎所有的问题命题总能精确找到问题的特征属性因子，从而针对性解决。罗素等数学家也坚信，任何数学真理，只要通过一代又一代人的不断努力，都能用逻辑推理的公理化将其整合到数学的大厦中。

  简单来看，把一个有歧义的命题分而析之各个击破，相当于细化切分问题。类似于“一尺之捶，日取其半，万世不竭。”我们知道，以这种一刀一刀砍出来小段，其实就是一个分数的数列，而分数即有理数。

   按照这样的逻辑，哥德尔证明的脉络如下：首先，把形式逻辑系统同构映射到算术系统；然后第二步，把形式逻辑的“理发师悖论”的公理拓展形式同构为有理数的运算；最后第三步，通过集合论中的实数的“势”的关系来严格证明，对于实数空间，有理数坐标系是不够的。

   【第三步：“势”－无穷大的阶 】

   当一个形式逻辑体系出现悖论时，就用一个更大的逻辑体系去把它包了，让原先那个逻辑体系作为更大的逻辑体系的子集合。当然这样做的结果，新的母体系又可能产生新的矛盾。但这也没关系，只样类似地一层一层地包下去，以致于无穷。有了这样的递归工具，不就完全化解所有矛盾了吗？

   是吗？

   非也！

   请深吸一口气，注意!

   “说谎者诡论”和“理发师悖论”有深刻的本质的区别。且看：

     说谎者诡论的数学模型：【如果A，则有非A】并且【如果非A，则有A】

     即：(A  -->  ¬A)  &  (¬A   -->  A )

    这个模型说明，说谎者诡论必然引出死循环矛盾，问题关键是它无法通过拆分命题来化解歧义，这种是非混淆的逻辑根本不可能被人类形式语义逻辑所允许。也就是说：这句话在本质上就不存在于人类正常的语言逻辑模型中。并且任何一个自洽的自然语言（一阶逻辑）系统都无法推断这句话的真伪。

   “理发师悖论”可以通过打补丁弥补，把公理体系扩展到n+1维解决即可。 但是，使用层层外延法扩张的形式逻辑体系并不能清除“说谎者诡论”的矛盾。即便通过增加公理体系扩展到n+1维、n+2维、n+3维，哪怕扩展到无穷大维都是没有用的，形式数理逻辑的公理体系永远解答不了这个诡论命题。 所以“说谎者诡论”是形式数理逻辑公理体系永远也解决不了的“不可判定命题”。

   这种“不可判定性命题”对应于算术公理系统中的“超越数”（超越代数系统解答能力）。

   我们知道，超越数是无理数的主力军。

   根据数论的理论，实数可以看作无穷位的小数（有限小数和整数都可以视为后面跟0），无穷位小数包含了两类数：无限循环小数叫有理数，无限不循环小数叫无理数。从前，正常的地球人的形式逻辑惯常思维，认为无限不循环小数（无理数），当然是无限循环小数（有理数、分数）的无穷次递归逼近得到的，因此无限不循环小数（无理数）可以由分数（有理数）完全表达。

   是这样吗－－－请大家花几分钟看看下面这个视频：

   http://v.youku.com/v_show/id_XNDkxMDkyMzQ0.html

   鉴于无穷大概念的复杂性，视频中关于的有理数的‘可列无穷大’和无理数的‘不可列无穷大’的证明，简洁让人窒息、冰凉让人清醒，淋漓尽致、难以置信，却又无可辩驳、惶恐不安。这个视频不是脑筋急转弯，视频的内容每一个数学系的学生都熟悉，这个视频证明了不可列数比可列数要多、无穷小数比无穷分数多、无理数比有理数多。这也是关于无限不循环小数（无理数）不能由分数（有理数）完全表达的标准证明。

   这个证明告诉我们这样的事实，尽管有理数有无穷多个，但是无理数比有理数“稠密”得多。即使‘可列’的有理数的无穷次递归逼近，也得不到‘不可列’的无理数。也就是说，可列的‘有理数’维度的公理体系（哪怕扩展到无穷大维），永远解答不了不可列的‘无理数’问题。这意味着，形式逻辑系统无论如何扩充递归n+1都不可能完备。

   所以，公理化参照系（即可列维度参照系）对于包含了同构映射无理数结构特征属性的系统（即包含了不可列维度特征属性），是不完备的！

   剑芒一瞬断冥曲，砍月劈星削阎罗。恶鬼凶奴何处躲，且看利刃披血污，仗剑怒江湖！

   后世在评论哥德尔不完备性定理时，往往注意“说谎者诡论”那有形的剑锋，却没有留意剑锋后面的醇厚内功。其实，没有深厚的功力，哪有那惊鸿一剑。哥德尔不完备性定理的醇厚内功，修炼心法的要旨正体现于此———无限不循环小数（不可列的无理数）。

   “理发师悖论”可以通过打补丁弥补，把公理体系扩展到n+1维解决即可，因此“理发师悖论”的命题逻辑系统的秩是可列维度的。

   但是，“说谎者诡论”对应于不可列维度的系统，不可能通过可列的递归方式而得到，使用层层外延法扩张的形式逻辑体系无法清除“说谎者诡论”的矛盾，即便通过增加公理体系扩展到n+1维、n+2维、n+3维，哪怕扩展到无穷大维都是没有用的，可列维度的形式数理逻辑的公理体系永远解答不了这个诡论命题。 所以“说谎者诡论”是形式数理逻辑公理体系永远也解决不了的“不可判定命题”。

   【注：严格说，“理发师悖论”映射为代数数，“说谎者诡论”对应于超越数。不过为了叙述方便，本文把“理发师悖论”类比为有理数，把“说谎者诡论”对类比于无理数。这种类比欠严谨，但对于大多数非数学系的读者更易理解些。】