2.4 扩展到n+1维

   线性空间和不完备性定理，都跟公理体系密切相关。

   形象说，公理体系是线性空间的儿子（子集），不完备性定理是公理体系的老婆（如影相随）。

   线性空间还有个重要的概念———维度（又称系统的秩），指系统所需‘特征基’的个数。    

   我们都知道，描述一个事物，有很多种方法。观察的角度不同，选取的基本零件不同，参照系坐标轴就不同，则描述的方法也会不同。一个系统‘特征基’有不同的选择，但其‘维度’是永远不变的。

   关于空间维度，有个趣味小故事：

  【我们先从最基本的图形入手——“点”，点是最小的零维空间，它没有任何空间尺度和容量，通常表示某个位置。

   点的正反定向移动，便形成一维空间-“直线”。假设有一个一维生物在某个直线上不断运动，无论往正方向还是反方向运动，它永远跑不出它的一维空间世界。

   当一维生物发现新的维度，并跨越到平面空间时，它会倍感惊讶，这个无限长的一维直线，外面竟然有一个更大的世界-“二维空间”。

   再假设在某个平面内有一群“二维生物”，我称它们是纸片人，纸片人被困在一个二维平面里，它们是不可能逃出二维空间的。

   纸片人和我们这样的三维立体人不一样，因为我们多了一个维度（厚度），因此我们生活在三维立体空间。我们通过直观，建立一个三维立体直角坐标系，这对于我们来说就是完备的坐标系了。因为在现实世界当中，我们能感知的任何位置都能用长宽高三个维度体现出来。

   进一步，有个高智商的神人，爱因斯坦，看见了四维空间。这个在相对论中出现的神秘园，普通人难以体验。因为现实感知三维空间限制，普通人的形象化思维中装不下四维的构件，就像纸片人无法明白三维空间一样。

   ..........

  】

   显而易见，每一次系统特征属性维度的扩张，都是认识水平的巨大飞跃。

   并且容易看出，系统的完备性和其维度是息息相关的。只有系统维度等于其参照系‘基’的个数时，才称系统是完备的。

   如果参照系特征基的个数小于系统特征属性所需的维度，则由这些‘基’构建的参照系不完备。换句话说, 当参照系的维度小于研究对象的秩的时候，会出现“不完备性”现象。

   比如，我们不能在一维的线上画出二维的平面图纸；也不可能在二维平面里造出三维的房子。

   又比如，如果一个资金雄厚的大型房开商修建一个小区，他必须确定需要哪些材料，比如砖、钢筋、水泥、砂石、门窗、水电线路，这些零件材料就是‘基’。完备性意味着每一种基本零件材料都是必须的，一个都不能少。如果某种基础材料买不到，那么房子就建不城，无法完工。

   作为线性系统之一的公理体系，道理也是一样的。在公理体系中，如果公理的个数小于系统所需的维度，则该系统是不完备的。

   慢点、慢点，让俺捋一捋，既然不完备是因为基础材料不够，那么对于不完备的形式逻辑系统，干嘛不多添加几个公理呢？ 如果把本不完备的n维空间拓展到n＋1维、n＋2维、n＋3维、、、多引入几个逻辑公理，系统不就完备了么？ 缺什么材料、补足什么材料，只要逐一拓展齐全‘基’零件，系统不就完备了么？

   哈哈哈，仰天大笑......

   可是，睿智的数学大师们难道不知道这个道理么？ 他们怎么会容忍出现那令人难堪的“不完备性定理”呢？？？