1.3 希尔伯特之梦



  以零星几条公理去解答全部真理，一劳永逸。如此诱人！千年以来，当越来越多的人明白了公理体系的内涵，就有越来越多的人蠢蠢欲动，希望一步一步挖掘出整个客观世界的全部公理，然后以这些有限的基本零件去打造整个宇宙。



  “Wir müssen wissen, wir werden wissen.”（我们必须知道，我们必将知道。）

  这是一个世纪前，伟大的希尔伯特先生在他退休时演讲的最后六个单词。当年希伯特的演讲所灌制的唱片，现在仍然保存着，我们若仔细听，仍依悉可听到希伯特讲完这句话时，得意的笑声 。希尔伯特是名副其实的数学大师，他看待数学的眼光相当深邃前瞻，有人将他称为数学界最后一位全才。

   希尔伯特谱分析将数学两大门派（微积分和线性代数）合为一体、将矩阵维度提升到了连续无穷维空间。著名的希尔伯特空间（量子力学的数学基础）就是以他的名字命名的，他是当之无愧的科学武林大盟主。


   “Wir müssen wissen, wir werden wissen.”（我们必须知道，我们必将知道。）

  何等的豪言！何等的气魄！何等的梦想！何等的伟大！

  这句话代表了当时几乎所有数学家的心声，他们坚信，只要通过一代又一代人的不断努力，通过形式化数理逻辑推理将其公理化整合到整个数学体系，再通过简单的机械化地判定演算，任何难题，全部真理，都必然能够得以完美地解决。

  对着自然科学抱着如此的信心，相信是那个时代极大部份的数学家所共有的，他们的大盟主希伯特清楚且有力的表达了出来：“我们必须知道，我们必将知道”

  那是战无不胜攻无不克的数学的时代，数学无往不胜，数理逻辑无所不能，形式逻辑包含一切，人类文明的飞跃即将来临、智慧爆炸的新时代即将来临，公理化的康庄大道就在眼前！



  形式化数理逻辑是个雄心勃勃的计划，信心满满希尔伯特认为这是可能的。他提出，先在最基础的算术系统进行这样的公理化，然后再将其推广到更广阔的数学系统中，最后实现整个计划。

  于是，整个计划便归结于在算术系统中进行这样的形式化，通过它的内部几条简单公理证明算术系统的完备性、一致性和可判定性。

  在通常眼中，算术系统不过是小学生级别的小儿科系统。小学生做算术，对自然数做加法、乘法和数学归纳法，就都用到了这个系统。相对而言，算术系统是比较基础的，它早在1889年就被皮亚诺归结成一个有5条公理的、比较简单的系统。



  “Wir müssen wissen, wir werden wissen.”（我们必须知道，我们必将知道。）

  他快乐的将算术公理系统问题列入了他那闻名遐迩的23条希尔伯特问题中，位列第二。他希望引领新一代的数学爱好者们去证明完成。 站在世界科学之巅的伟大的希尔伯特，俯身看了看这个如此简单算术系统，想来梦里也会笑醒吧。so easy ,算术系统彻底公理化（即实现完备性、一致性、可判定性），绝对没问题。那个比算术更复杂的几何系统的公理化，不早就被欧几里得搞定了吗？

   算术公理化之后，希尔伯特先生将引领科学界将公理体系推广到整个自然科学系统中。这是前无古人后无来者的伟大创举。人类最伟大的智者之一，希尔伯特先生，很有希望从此摘下头上‘之一’那个小环环，成为万中无一的绝世英雄，成为独一无二的“最伟大”！



  1931年，仅仅在他退休一年之后，算术公理系统问题完美地证明即告解决。只是，遗憾的是，这个完美的答案却使得高傲的希尔伯特先生摔了个大跟头，哇哇吐血......