第一章 公理体系

1.1 几何原本

   当年学习信息系统课程，有道题考住了很多同学——“信息和数据有什么区别？”

   大数据时代，相信很多人关心这个问题。在移动互联网社会，每天爆发大量数据，其中绝大多数“数据”没有“信息”含义，毫无价值。

   笼统而言，要挖掘数据价值，首先要找到数据之中隐含的规律，找到数据之间属性的关系；要弄明白哪些数据可归类为一个系统，还要分清楚系统内的这个和那个子系统间如何相互影响。这才叫做有意义的“信息”。

   请注意，是数据和数据之间、系统和系统之间，而非个体数据，才是信息科学的基石。

   只有在系统中才能体现信息。

   系统化思维，意味着智慧。

   历史以来，中国文化的系统思维始终停留在阴阳五行、中庸和谐类模糊笼统的层次上。与此形成鲜明对比的是，西方两千多年前就已经严密论证发明公理化系统思维了。 关键的区别是，东方的系统思维是语文的，而西方的系统思维是数学化的。如果语言文字描述是系统分析的1.0版，那么数学度量则是系统分析的2.0版本。系统量化，意味着更高层次的智慧。

    系统主要包括‘集合’和‘结构’的概念。一般人对于集合、子集合、交集、并集等等相对比较熟悉。但是，系统的结构如何有效量化呢？要精确量化系统的结构关系并不容易。可能很多人都不知道，结构量化隐藏着极大秘密。

   就像文科生不可能不知道《圣经》一样，理科生也不可能不知道《几何原本》。

   因为《几何原本》是西方量化的体系思维的鼻祖。

   公元前300年，古希腊有个叫欧几里得的超人，写了一本叫《几何原本》的超牛逼著作。从欧几里得发表《几何原本》到如今，尽管已经过去了两千多年，尽管科学技术日新月异，这本书所倡导的思想内涵依然万丈光芒，其思维方式仍然是所有自然科学的理论基础。它在西方是仅次于《圣经》而流传最广的书籍，深深影响了整个人类文明的发展。

   牛顿小时候在剑桥大学附近的夜店里买了一本《几何原本》，开始他认为这本书的内容没有超出常识范围，因而并没有认真地去读它，仅对笛卡儿的坐标几何很感兴趣而专心攻读。后来，牛顿于1664年4月在参加特列台奖学金考试的时候惨遭落选，当时的考官巴罗博士对他说：“因为你的几何基础知识太贫乏，无论怎样用功也是不行的。”这席谈话对牛顿的震动很大。于是，被深深刺激的牛顿又重新把《几何原本》从头到尾地反复钻研，终于入门开悟。牛顿被《几何原本》万丈光芒的思想所折服，为其以后的科学理念打下了坚实的思维基础，后来牛顿按照《几何原本》的公理化模式发表跨时代的《自然哲学的数学原理》，终成一代宗师。

    两千多年前，欧几里德神一般注意到，古典几何体系中已经发现的465条定理都可以由最基本的10条公理推导出来，而且他天才洞察力断定几何体系中所有的定理都应该都可以由此10条基本公理推导出来。也就是说，公理是比定理更基本的‘零件’，并且所有的几何学定理都可以由10条公理‘拼凑’而成。

    几何学的所有问题都可以由10条基本公理来解答，意味着，这10条基本公理不仅是几何体系中标准零件、还是古典几何体系中全部的基础零件。也就是说，几何学仅需这区区10个的基本零件就足够了。因为这10个的‘零件’可以完完整整‘拼凑’出来整个的欧式几何学。

    这个发现太匪夷所思了，因为欧式几何学是非常纷繁复杂的系统，涉及了全等形、平行线和直线形、圆、弦、割线、切线、圆心角、圆周角、棱柱、棱锥、圆柱、圆锥以至球体的体积、圆的某些内接和外切正多边形的尺规作图问题、整除性、质数、最大公约数、最小公倍数、正多面体等等，等等，其中定理多不胜数，探讨的问题更多如牛毛。

    看过《几何原本》，而不被雷倒的人，绝对是没有看懂的人。

    如此复杂的整个欧式几何体系，居然仅仅只要10个基本‘零件’，就能完全解答了。可以毫不夸张的说，这是人类一万年一回的最伟大的科学发现 ！！！

    今天，如果我们严格苛刻审视，《几何原本》的公理系统并不完善，当中的证明亦有不少缺陷，但它踏出了科学体系化的重大突破、代表了人类抽象思维的巨大升华。

    大道至简，公理体系如此深邃，却又如此简洁。是因为发现了体系量化思维的关键核心--- 系统的基础零件(特征基)。