《教育过程》发表18年后，布鲁纳又说了，①要寻求新的方法来向新的一代传授那些已在快速发展的大量知识；②重点应当转到教授基本的原理、基础的公理和普遍性的主题上来，并认为这样做是很自然的；③应当同学生“讨论”知识，而不是对他们“讲授”知识。

他再一次的说了“任何科目都能够按照某种正确的方式，教给任何年龄阶段的任何儿童。”关于这一点，他并不是说要把微积分教给六岁的儿童，正确的途径就是让儿童领会微积分中的基本观点。

在布鲁纳的这一思想指引下，我国中小学数学课本在新课程中开始学习西方国家的做法，把知识下放。例如一些原来在大学才教的知识下放到中学去了。有的一插到底，在小学一年级就开始教了。例如等量代换，等式性质等知识，20年前是到了初中才教的。

李大潜院士认为，教学时间是有限的，把大学或“时髦”的东西硬性下放到中学，必然把原来中学一些应该好好训练的偏基础的东西，加以淡化、甚至给挤掉了，这是不合算的。是走向一个极端。这种“抢跑道”的做法，是不符合中学阶段的培养目标的，也是不符合广大中学生的认识规律的。

我认为，李大潜院士现在下这样的结论，为时过早。

根据本人的10年的无课外作业的感觉教学探索，我认为这种变化不说是好事，至少还不能说是坏事，要看后面的路怎么走。科学探索难免有试错的过程。教育教学也是科学的操作，暂时没有取得理想的效果很正常，未来未必不会成功。

没有完美，只有更美。美英等西方国家的数学基础教育，知识下放的教改已经进行了60年。因为他们有能让学生们创新的教学方式，又有不同于我们的考试制度，在培养大批杰出科技人才方面是比较成功的。利大于弊，有习惯了，倒退的可能性很小了。只会继续探索，不断革新，不断发展。

我认为，美英等西方国家的数学基础教育在学术技术方面，还是没有解决好让学生们能创新的问题。在大多数学生身上，知识下放的教改并没有显现出多少先进性，发现创新能力并不比我们强，知识学习的成绩又不如我们。在这样的事实下，英国有老师学习我们的上海模式可以理解。我认为，除了学习我们的九九乘法表，学习其他就是在犯傻了，倒退了。

我们可以看到数学课本下放的那些知识，基本符合了布鲁纳所说②的“基本的原理、基础的公理和普遍性的主题”。关键是①的你有没有“寻求新的方法”， ③的你是“讨论”知识还是“讲授”知识。

我们要思考，布鲁纳为什么不是提出下放一般的知识，而是下放基本、基础和普遍性的知识？

任何知识，都有迁移，越是基础迁移越大。普遍性的主题性知识，几乎是现时所有人都需要的迁移。那些基本、基础的知识，迁移性最大，可以迁移到布鲁纳在①中说的那些已在快速发展的大量知识。

基本、基础知识的下放是不是“抢跑道”，符合不符合广大中学生的认识规律，关键看你怎么做。我们需要实施学而即创之的教学技术，让迁移成为学生的主动。其中，让迁移成为学生思维的主动，必须放在首重的位置。

一般来说，任何知识的迁移都可以有两个方向，一是用于理解记忆的迁移，二是用于发现创新的迁移。

前面的博文中我说了，重基础知识的目的是为了让学生们能创新。知识的迁移，必须把能发现创新做为目标的统帅。否则，必然会造成李大潜院士所说那些不良后果，想象的好事变成事实的坏事了。

例如等量代换、等式的性质等知识，都是最靠近人的思维本能的数学性文化文明，体现出了人类的发现原理，都可以从一年级开始，由简到繁，由形象到抽象，循序渐进地引入。

等量代换知识，从小学、初中、高中，一直到大学，都有广泛运用，可见其迁移之广之深。仅仅把等量代换用在理解记忆教学，太浪费了。

在让迁移成为学生主动的教学实验中，关于等量代换的主要探索我是这样做的：

首先，充分的认识知识。对知识，有怎样的认识就有怎样的迁移，有多少认识就有多少迁移。

例如1．观察：

1+2=3

2+1=3

一个数值与另一个数值相等时，我们可以用“=”表示它们之间的关系。如果我们对等于号的这个使用时机很有深刻意识，又有相应的一定演练，就能很快发现：

1+2=2+1

   仅用知识表达创新了自己的思维过程，可以是：

 ∵   1+2=3    

      2+1=3    

 ∴   1+2=2+1  

再从逻辑形式和思维学的角度看这一思维过程，可以是：

∵   1+2=3     （已知）       → 视觉

     2+1=3     （已知）       → 视觉

 ∴   1+2=2+1   （等量代换）   → 意识

        ↓           ↓           ↓

      概念          逻辑         本能

很显然，在这样的能创新的思维过程中，离不开数学概念、数学逻辑和（等量代换的）数学意识。

在这样的能创新的思维过程中，两个视觉是脑外感，等量代换意识是脑内感，都属于感觉思维。

数学概念、数学逻辑和数学感觉这三者中，你认为哪一个是我们的现在最需要解决的问题？

数学概念和数学逻辑作为知识，怎么教，一直都是我们的熟门熟路了。视觉和意识的感觉无法教，必须有育。如等量代换的发现创新性迁移，就要靠育，在育中体现教。或说是把教统一于育，“不教是为了育—黄全愈”。

等量代换，是指一个量用与它相等的量去代替。对低年级的学生我们不要求他们说出这个定义，暂时不需要让他们完整地掌握这个定义。老师的表术语言可以用定义去说，且可以多次的说，以便让学生们在潜移默化中慢慢地领悟，形成潜意识。

相等的量包含相同的数和数量。对1+2=3和 2+1=3两式进行形状、大小和位置的异同比较的教学活动中，把“相同的数和数量”作为等量代换使用时机之首要，以后在适当的时机再进入“相等的量”。

其次，把认识逻辑化。跟着感觉走是人的本能，分析思行更显人类思维的文化文明。要研制一些相应的观察题，锻炼学生们的直觉，把逻辑思维感觉化，养成习惯，特别有利于提升逻辑思维能力。

如例1：把下列各式进行分类，以便运用等量代换。

如例2：看下图，有没有相同部分？

再有，把知识及时感觉化。注意，要及时！确保学而即创之，才会有高效率。知识是死的，在本能和经验的作用下对知识有了感觉，知识才有可能被活动起来，进入运用和发现创新的思维过程中。

知识的迁移受制于人的大脑中的思维模型。在这一思维模型中，少不了多种思维方式，丰富的经验和知识感觉。让迁移成为学生的主动，感觉题锻炼绝不能缺席！感觉题的教学意义，不是举一反三，而是以一当百，有立竿见影之效。

参加数学冬令营的学生要演练万多难题，是数学肉搏战的集中营，有人形容奥数赛是刺刀见红的战争。把万多难题从感觉思维的角度逐条整理一下，研制成感觉题会有多少，绝对不会有上千。对那些很有数学天赋的学生，感觉题的训练有上百条就可以了。学生轻松，效果更好。听我的，没错，不要再做笨事。这一点，我也是以我的成功实践说事。

要研制一些联想题，锻炼学生们对等量代换的感觉。

如例3：把你想到的内容写在“→”的后面（想到什么就写什么）。

例1中的⑨⑩，例3中的第5题等，出现了学生们还没有学习过的知识形状，超纲不超纲？不存在知识的超纲不超纲的问题。这里的主体不是教知识，是育思维。育知识的迁移，必须尽可能的延伸于后续知识。

例如学习了方程、方程的解和解方程，出示过如下几例（见我在博客中的关于《初一数学思维教育检测题》的博文）：

你看这样的演练，所用超前不超前，符合不符合人的认识规律。你去试一试，就知道了。

很显然，以上三类数学思维锻炼例题，学生思维的主动是主体，都是锻炼学生对等量代换知识的迁移能力，以便学生们的今后遇到新问题时能有比较高效的自主探索，自主发现创新。

   等式的性质的教学也可以从一年级开始。具体怎么引入，方法并不唯一，我在前面的博文中已有例举。等式的性质引入后，要立即进行异同区分的认识教学。特别需要从数学形象的角度认知等式的性质的使用时机，等式的性质的使用时机很丰富，要及时（！）使用相应的感觉题进行演练，锻炼学生对等式的性质之使用时机的感觉。

   教学改革需要有根据我们自身的切实体验去想象。但是必须不忘，成年人和未成年人的“性质一样，程度不同”。我们成年人的想象的东西未必适合面对未成年人的教育教学操作。因为有“程度不同”，必须有实践的检验！！！

如例3，我在今年的大年初二，即2月6日上午又进行了一次实验。实验对象叫菜梁第，南通市区某小学四年级的学生，平时数学成绩处于班里的中上游，这个男孩子把例3全说对了！只是几分钟时间，全说对了！

   我们有相当数量的很聪明的学生，特别是那些很聪明的文优学生，在传统教学技术下，学笨了，学差了，有些学的很差很差了，太可惜了！

   我们总是习惯着说没有爱就没有教育。我们能不能也习惯着说一说，没有更好的教学技术就没有更好的教育之爱。一般来说，爱必然是家庭的第一位。学校的爱，能比得过家庭吗，只能是第二位的。要让学生们在最先进的教育教学技术中享受到学校的最有特色的爱！

   我在微博中多次说过，即使是对于如布鲁纳、杜威这些伟大教育家的理论，也只能作为我们思考教育教学问题时的参考，因为他们几乎都没有中小学教学的经历。

例如布鲁纳在①中提出要寻求新的方法，什么样的新方法，他说不出，就是因为他没有这一方面的实验，还是要靠我们第一线的老师去发现创新。

从上述的成功实验，面对现在社会科技发展的大环境，我们不难想象，应该把初中数学的不是很少的内容下放到小学，以便从小学开始就实施数、式、方程并举的教学！

如此，那些最基本最基础知识的发现创新迁移，一定会让我们的中小学数学教育获得令人意想不到高效，我国的中小学数学教育必会发生实质性的大发展！