--无课外作业的感觉教学的说说（12）

让发现未必能发现。

让发现只是发现法教学的一个手段，当然是必须有的最基本的手段。目的是能发现，一切的教学手段必须围绕这个能发现的目标进行活动。学生是未成年人，思维和行为都处在生长过程中，知识及相应的能力很有限，控制力也比较弱，我们的教和育都需要助力于学生们的能发现。

从知识的角度看能发现，不得不是运用自己的已有知识，发现创新自己的新知识。让学生们能发现，学生们的脑子里必须有足够可用的能相应于新知识的知识。

何谓相应于新知识的知识？中小学数学中，因体系的同生异长性质决定了，新扩充的知识中不会不包含已知的知识。平几如此，代数也一样。

例如等式的性质的教学。等式的性质，第一题设是等式，是描述等式运算的结果。天平是等式吗，在天平的两个盘子里拿拿放放就能让学生们归纳出等式的性质吗。除非是神仙。

又如，折折三角形纸片，就能让学生们发现证明等边对等角的方法吗。

如果说阿基米德在盘里洗澡时发现了浮力定理的故事是真的。你要想一想，包括阿基米德在内，多少人没有在浴盘里进行过多次的洗澡？阿基米德的这种发现是有偶然性的。发现法发现是学习性的，应体现数学的体系性思维的必然性。理、化、文学艺术等的发现，都有只属于自己的独特思维方式。只是靠一门学科就想培养好学生们的所有学科的素质，并不是科学的思维，也难有科学的操作，还是各自做好各自的事吧。

在迪卡尔发现平面直角坐标系之前的不知多少年里，就有了数学点、位置、坐标系、正方形方格等等知识的发现和运用，足够迪卡尔去发现平面直角坐标系了。没有关于数学点和位置等意识，迪卡尔能发现出平面直角坐标系吗？很难说了。

无论是运用知识，还是创新知识，点的位置性都是我们在日常的生产生活中必须有的数学意识。

比之点的位置性意识，尽管其具体知识的具体内容是什么并不是最重要。为能更完整地认识欧几体系的整体，也从发现直线公理的知识需求角度去思考，我认为让学生们学习一下“点无大小只有位置”和“线无宽度只有长度”，还是很有必要的。

多年来，我们的数学课本都是把直线公理作为平几教学的第一个概念，从生产生活的实例引入。如“要固定一根木条，使它不转动，至少需要几个钉子？”“经过探究可以得到一个基本事实，经过两点有一条直线，并且只有一条直线。简述为：两点确定一条直线。”

生产生活的事实是不是这样？

生产生活中的基本事实告诉我们，固定一根木条，或是纸条，或是布条，甚至是铁条，使它不能转动，只要被固定的对象足够短薄轻，钉下的钉子足够有力，有时一个钉子也行，需要两个钉子、三个钉子、更多个钉子的情况也不少。是不是这样？

在这一基本事实里，能归纳出来的，有数学，也有物理学等。对现实世界中的任何事物的抽象，都可以是多元的，数学只是反映了现实世界中的一种抽象。

两点确定一条直线是直线公理的简说，繁说就是过（无大小）两点，有且只有一条（无宽度）直线的位置和长度。

在这一繁说里，直线是说形状，位置有了，长度就是指大小，一个确定了形状、大小和位置的图形，有不唯一的吗。让学生们明确这一问题，对今后的继续学习和发现有帮助。

要固定一根木条，使它不转动，至少需要几个钉子？只是靠数学无法解决。数学能够解决的是：确定（而不是固定）一根木条的位置，至少需要两个钉子。

在直线公理中，包含着点、线和一条直线等的概念，有存在性，有唯一性，学生们的脑子里没有这些知识信息，能发现性的描述出直线公理吗。

过两点可以画几条直线？你是老师，抛开数学的点和线的意识，画着试试，能发现两点确定一条直线的结论吗？

从俗世或说现实世界，是不可能直接抽象出直线公理的。欧几定义中的第一条就是点无大小只有位置，第二条是线只有长度而没有宽度，没有这样的两个约定就不可能有直线公理。

由前文所说图形体系可知，平几体系中是先有点后有线，再直线、直线公理。可以想象，平几的直线公理是源自于点、线等的能够自圆其说的概念。

可见直线公理的意义也是纯数学，也就是说从生产生活中的基本事实是不可能直接抽象出直线公理的。

直线公理是按理（！）的基本事实过两点画直线，不是按生产生活的基本事实画线！没有点无大小只有位置和线无宽度只有长度这两个数学的理，就不会有直线公理。

很显然，直线公理的意义也是纯数学，也就是说从生产生活的基本事实是不可能直接抽象出直线公理的。

建筑工人在两个墙角的位置分别插一根木桩拉一条直的参照线，植树时只要定出两个树坑的位置就能使同一行树坑在一条直线上，学生们是不可能从等等这些实例中直接发现直线公理的，神仙除外。

让学生们知道了这些实例后，能够主动地联想到这些操作的道理就是直线公理，属于理解，不是发现。

例如。想把一些树坑在一条直线上，怎么做为好？就需要发现性的运用直线公理了。有发现了，发现的是两点成线的操作，也不是发现直线公理。

教学中的假发现，伪发现，很容易伤害学生们探究发现的自信心。不怕不发现，就怕习惯了无能发现。最难改变的是习惯，最难习惯的是改变。

学习了点和线后，让学生们在过两点画线的操作中，通过比较，能比较容易的发现直线公理，还能发现很多其他知识。这样做，发现的效率比较高，知识学习的效率也比较高。