曲线拟合仍然迷惑我，能为我解释一下传递函数、FRF和估计的参数吗？

当然可以，没问题……

曲线拟合初看起来有些让你摸不着头脑，但在这儿我想通过几个原理跟曲线拟合相类似的简单实例帮助你理解曲线拟合。其实曲线拟合相当直观，我给出的这些实例的确非常简单。

上次我们讨论一些与系统传递函数和频响函数（FRF）相关的知识。用部分分式的形式写出单自由度的系统传递函数，形如

同时，频响函数形如

如果我们观察这两个方程，会发现在第一个方程中独立变量是“s”，在第二个方程中独立的变量是“w”，函数“h”依赖于这些变量。但是，我同时也注意到两个常数或者参数为留数“a”和极点“p”。因此，由这些参数定义在给定 “w”区间下的函数“h”值，我们称这些参数为模态参数。

如果我们考虑系统传递函数或者系统传递函数的切片——频响函数，我们必须意识到对于单自由度的系统传递函数曲面和频响函数曲线都是仅仅是由两个参数定义的，也就是极点“p ”和留数“ a”。因此，观察图1，我们会认识到只有这两个参数定义了系统传递函数曲面和频响函数曲线，这相当令人惊叹！

现在让我们后退一步，考察一些更简单，更易明白的实例。考虑用一些测量数据拟合一根直线。我打算用最小二乘误差最小的方法为图2所示的直线进行拟合。我们知道，用这些数据能拟合任何曲线，但对于这组数据，似乎线性拟合最合适。当然，考虑的数学模型如  y=mx+b

这有两个参数定义这条直线，也就是斜率和y方向的截距。

对于这个例子，在图2中通过最小二乘法拟合，得到两个参数：斜率为12.097和y方向的截距为-0.019。同时意识到这条直线是由一组测量数据拟合得到的，而这些测量数据存在一些变量，使用最小二乘回归分析确定了最理想的参数，也就是斜率和y方向的截距，用于描述这些测量数据。

图1 系统传递函数和FRF

图2 直线拟合的例子

因此，如果我们采用相同的逻辑去拟合一个单自由度系统的频响函数，那么我将拟合出频响函数的第一阶模型，如图3中右上角公式所式。如果你观察这个示意性的拟合，你将易于看出这组数据是由两个参数，即极点和留数，拟合得到的。

模态中的曲线拟合，除了数据是复数和曲线比直线复杂外，其实际跟直线拟合相同。原理上，跟直线拟合是相同的方法论。我们在离散数据点测量到的数据是复数形式，那么将这些数据拟合成频响函数曲线，目的是用最小二乘法找到描述这组数据最合适的参数。

当然如图3所示的数据是针对单自由度系统，这个原理也可以推广到多自由度系统，如图4所示。因此，用这个方法，我们可以通过离散的测量数据拟合多阶模态（或者本质上是高阶的多项式）。与模态参数估计有关的所有相同的过程在图4中都会再次遭遇到。

因此，如果你理解了这个直线拟合过程，那么你也就接受了在模态参数估计过程中所实施的相同过程（当然了，模态拟合中这些数都是复数形式，曲线比直线更复杂）。在两种情况中，本质上都是相同的，都是采用最小二乘法提取用以描述函数的参数。

因此，曲线拟合整个过程真的没有什么地方会使你摸不着头脑。这个过程同直线回归分析是相同的。模态参数估计仅仅是直线拟合的延伸。

图3 概念上的单自由度拟合

图4 概念上的多自由度拟合

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