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摘要:本文定义了一种变进制,研究了十进制与变进制的转换。研究了正整数集合及其子集的若干情况。
说明:集合或子集中各数均按自小到大排列,第一个数指的是该集合或子集的最小数。
关键词:变进制 转换 正整数集合
变进制及正整数集合 (修改01)
Guoyiti111
一.自定义变进制
1.定义:十进数 A=amam-1……a3a2a1, m∈Z+ 可用变进制数 B表示。
设 B = 'bn'bn-1……'b3'b2'b1, n∈Z+,称为n节数。
其中:b1= 0、1、2、……、(2*P1―1)
b2= 0、1、2、……、(P2―1)
b3= 0、1、2、……、(P3―1)
……
bn-1= 0、1、2、……、(Pn-1―1)
bn= 1、2、……、(Pn―1)
式中:奇素数 P1= 3 ,P2= 5 ,P3= 7 ,…,Pn,… n∈Z+
(注:'b2'b1表示末2节的数值,不表示'b2×'b1,依此类推。)
节的含义与十进制“位”含义相同,但b4、b5、……、bn是多位数或一位数。
最右边之节为第末节, 次之为第末2节。'b2'b1为末2节。
最左边之节为首节,次之为第2节,依次类推。
每节数字前加上符号 ', 末3节可省略 '符号,首节不能省略 '符号。
2.十进制与变进制的转换
2.1 已知 十进数 A=amam-1……a3a2a1
=am*10^(m-1)+am-1*10^(m-2)…+a3*10^2+a2*10^+a1 , m∈Z+
式< 1-1 >
则:变进数B = 'bn'bn-1……'b3'b2'b1 , n∈Z+ 式< 1-2 >
式中b1≡A MOD 6
b2≡(A-b1)/6 MOD P2
b3≡(A-b1- 2*p1*b2)/(2*p1*p2) MOD P3
……
bn≡(A-b1- 2*P1*b2-2*P1*P2*b3-……-2*P1*P2*……*Pn-1*bn) /
(2*P1*P2*……*Pn-1) MOD Pn 式组< 1-3 >
且Pn-1*Pn-2*……*P3*P2*P1*2≤ A <Pn*Pn-1*Pn-2*……*P3*P2*P1*2
式< 1-4 >
记为 'bn'bn-1……'b3'b2'b1 ( =amam-1……a3a2a1 )
例1-1 将 A=2*10^3+3*10^2+1*10+1=2311 转换成变进制的数 B
解:∵ 11*7*5*3*2=2310< A < 13*11*7*5*3*2
∴ n=5
将am之值代入式组< 1-3 >得:
b1=1 b2=0 b3=0
b4=0 b5=1
∴ B = '1'0'001 = 1* '1'0'000 + 0 * '1'000 + 0*'100 + 0*'10 + 1*'1
记为 '1'0'001(=2311)
2.2 已知 B ='bn'bn-1……'b3'b2'b1 , n∈Z+
则 A = b1+2*P1*b2+2*P1*P2*b3+……+(2*P1*P2*…*Pn-1)*bn , n∈Z+
式< 1-5>
例1-2 B = '1'10'645
= 1*'1'0'000+10*'1'000+6*'100+4*'10+'5
则 A = 1*2*3*5*7*11 + 10*2*3*5*7 + 6*2*3*5 + 4*2*3 + 5
= 4619
= 4*10^3 + 6*10^2 + 1*10 + 9
3.溢出型变进制数
3.1 定义 若变进制数某节位上的数值允许超出该节位规定的进率,
则这种变进制数称溢出型变进制数。
例1-4:'1'0'001写成 '11'001,
则'1'0'001为标准型变进制数, '11'001为溢出型变进制数。
例1-5:'1'0'0'531(=30199) = '13'0'531(=30199) 注:在第末5节位溢出
= '12'11'531(=30199) 注:在第末4节位溢出
3.2 十进制与溢出型变进制的转换
3.2.1 已知十进数转换成溢出型变进制数
先按前面所述方法将十进数转换成标准型变进制数
再根据需要在有关节位溢出,得到溢出型变进制数
例1-6 将 A=3*10^4+0*10^3+1*10^2+9*10+9=30199
转换成第末5节位溢出的变进制数 YB
解:∵ 13*11*7*5*3*2=30030< A < 17*13*11*7*5*3*2
∴ n=6
将am之值代入式组< 1-3 >得:
b1=1 b2=0 b3=0
b4=5 b5=3 b6=1
∴ B='1'0'0'531=1*'1'0'0'000 +0 *'1'0'000+0*'1'000+5*'100+3*'10+ '1
记为 '1'0'0'531(=30199)
要求第末5节位溢出,则
YB='13'0'531(=30199) ( ∵第末5节位向第末6节位的进率为13)
3.2.2 已知 YB ='bn'bn-1……'b3'b2'b1 , n∈Z+
则 A = b1+2*P1*b2+2*P1*P2*b3+……+(2*P1*P2*…*Pn-1)*bn , n∈Z+
式< 1-5>
例1-7 B = '13'0'531
= 13*'1'0'000+0*'1'000+5*'100+3*'10+'1
则 A = 13*2*3*5*7*11 + 0 + 5*2*3*5 + 3*2*3 + 1
= 30199
二.正整数集合
1.奇数集合J与偶数集合U
J = { x|x是一正整数,且末节数为'1或'3或'5}
U ={ x|x是一正整数,且末节数为'2或'4或'0}
在J(或U)中,小于'1'0…'0 (共n个0,n∈Z+)的数组成子集,称为广义n节子集,记为GnJ(GnU)。
小于'1'0…'0 (共n个0,n∈Z+)且不小于'1'0…'0 (共n-1个0)的数组成子集,称为n节子集,
记为nJ(nU)。
G1J={ x|x是末节数为'1或'3或'5的正整数,且x<'10 }
G2J={x|x是末节数为'1或'3或'5的正整数,且x<'100 }
… …
GnJ={x|x是末节数为'1或'3或'5的正整数,且x<'1'0…'0 (共n个0 n∈Z+)}
GnU={x|x是末节数为'2或'4或'0的正整数,且x<'1'0…'0 (共n个0 ,
n∈Z+)}
1J={ x|x是末节数为'1或'3或'5的正整数,且'1≤x<'10 }
2J={x|x是末节数为'1或'3或'5的正整数,且'10≤x<'100 }
… …
nJ={x|x是末节数为'1或'3或'5的正整数,且'1'0…'0(共n-1个0)≤x<'1'0…'0(共n个0 ,
n∈Z+)} nJ 称为n节奇数子集。
J(或U)或nJ(或nU) 或GnJ(或GnU)可分为3个子集:
例 J={ J'1 ,J'3 ,J'5 } 。 其中,
J'1 ={ x︱x是末节数为'1的正整数 }
J'3 ={ x︱x是末节数为'3的正整数 }
J'5 ={ x︱x是末节数为'5的正整数 }
2.多级子集
定义:设m≤n,且m∈Z+,n∈Z+,末m节数相同的正整数组成的子集称为m级子集。
例2-1: J'1 为1级子集。
J'01(或J'03,J'05),……,J'41 为2级子集。
… …
性质1 1个1级子集可分为(p2*p3*……*pm)个m级子集, m∈Z+。
性质2 GnJ及其子集各有多少个元素?
用“#”表示元素个数,则:
#GnJ= p1*p2*p3*…*pn, n∈Z+ 。 式< 2-1 >
性质3 GnJ'1 (或GnJ'3 ;或GnJ'5)有多少个元素
#GnJ'1(或GnJ'3或GnJ'5)=1 n=1时 式< 2-2 >
#GnJ'1(或GnJ'3或GnJ'5)= p2*p3*……*pn n∈Z+且n≠1 式< 2-3 >
同理,#GnU'2(或GnU'4或GnU'0)=1 n=1时 式< 2-4 >
#GnU'2(或GnU'4或GnU'0)= p2*p3*……*pn n∈Z+且n≠1 式< 2-5 >
3.合数子集与混合数子集
定义3.1 一个子集所有的数为合数,这种子集称完全合数子集。
定义3.2 一个子集最小数为素数或1,其余的数为合数,这种子集称不完全合数子集。
定义3.3 完全合数子集和不完全合数子集统称合数子集。
定义3.4 一个子集部分数(不包括最小数)为素数或1,其余的数为合数。这种子集称混合数子集。
例2-2:J'3及GnJ'3是不完全合数子集。
J'41及GnJ'41是完全合数子集。
J'1(或J'5)及GnJ'1(或GnJ'5)是混合数子集。
性质4 1个m级子集若为合数子集,其最小数的最小素因数是Pi,则该子集所有数的最小素因数均是Pi。
例2-3:J'41所有数的最小素因数是P2 ;
J'011所有数的最小素因数是P3 。
推论4.1 若1个n节正整数的末j节数(j≤n)的最小素因数是Pi(i≤j),
则这个n节正整数的最小素因数也是Pi(i≤j)。
例2-4:'301(=91)的最小素因数P3 ,
则'1'301(=301) 和'1'1301(=2611)的最小素因数都是P3 。
推论4.2 若1个n节正整数的末j节数(j≤n)不是Pi(i≤j) 的整倍数,
则这个n节正整数也不是Pi(i≤j) 的整倍数。
例2-5:'031(=19)不是P3(=7)的整倍数,
则'1'031(=229) 和'1'1031(=2539)都不是P3 的整倍数。
性质5 1个m-1级子集分为Pm个m级子集,其中只有1个m级子集为最小素因数为Pm的合数子集,
其余的(pm一1)个m级子集的数不含素因数Pm 。
例:2级子集J'31={ J'031, J'131, J'231,……,J'631}
这7个3级子集中只有J'131是含最小素因数P3的合数子集,
其余的6个子集的数不含素因数P3 。
三.在变进制下,判断n节正奇整数j是否素数
步骤:①根据推论4.2,判断奇整数j是不是Pi(i≤n)的整倍数。
例如:在J'1中,J'41的数是P2的整倍数;
J'011等4 个子集的数是P3的整倍数、……等。
②再判断奇整数j是不是Pk(i<k≤m , Pm2≤j )的整倍数。
例如:判断'13'5'4'131(=402829)是否素数?
∵ '131(=49),而49是7的整倍数 。
∴ '13'5'4'131(=402829)是7的整倍数,不是素数。
402829=7*57547
本方法的本质还是埃氏筛法,但在埃氏筛子的前面加了小筛子。
(正文完, 后有附表)
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