上升下降 左右进退 互通变化 乘除往来 用假象真 以虚问实 错综正负 分成四式 必以寄之 剔之 余筹易位 横冲直撞 精而不杂 自然而然 消而和会 以成开方之式也

——《四元玉鉴》序言

所谓方程术，就是方程求解的方法和艺术。方程是最最基本的数学表达式，可以用来描述各种已知与未知之间隐含着的数量关系。方程一词最早作为章名出现在公元前后成书的《九章算术》第八章。《九章算术》一书由刘徽在公元263年作注，是影响最为深远的中国古代数学典籍，其中对方程的论述尤为系统。方程的英文equation源自拉丁语，意思是含有未知数的等式。将方程限定的未知变元的量，即方程的解，通过巧妙的化简变换、推理演算，用显而易懂的形式表达出来，这一过程即解方程。解方程不仅需要行之有效的方法，而且还要有互通变化、用假象真、以虚问实、错综正负的技巧，因而是一门艺术。比中国的方程术更早一些，古埃及人3600年前写在草纸上的数学问题，也涉及了含未知数的方程。从刀耕火种的古代到科学技术日新月异的今天，人们对方程和方程组求解的热情依然未减。这里我们从符号计算的角度，为读者讲讲方程术的故事。

我们的故事从一元线性方程ax+b=0讲起，它的解x=－b/a人人皆知，而一元二次方程ax²+bx+c=0的求根公式，人们也耳熟能详。事实上，用配方法求解二次方程的思想早在巴比伦时代就已为人所知。在《九章算术》勾股一章中，配方法也被用来求解具体方程。可是，三次方程如何求解呢？这个问题的研究在很长一段时间内都没有任何进展。甚至到了1494年还有数学家认为一般三次方程不可能用根式求解。1535年，三次方程的求根公式才第一次出现在J. Cardan的名著《大术》 (Ars Magna)中。据说Cardan的方法是基于另一位数学家N. Tartaglia的研究所得。当时Tartaglia宣称自己能求解一般三次方程，并因此赢得了一系列的学术挑战。声名大噪的Tartaglia引起了Cardan的注意。在Cardan再三恳求甚至发誓对此保密之后，Tartaglia将自己的方法写在一首晦涩的25行诗文中透露给了Cardan。经过仔细的研究，Cardan破译了藏在诗中的秘密并将三次方程的根式求解方法发表在他的名著《大术》中。《大术》中还给出了一元四次方程的求根公式，它是由Cardan的学生L. Ferrari首先发现的。有兴趣的读者不妨自己尝试一下如何导出三次和四次方程的求根公式。

三次和四次方程的求解问题在数学舞台上落下帷幕之后，如何用根式求解五次方程很快变得扑朔迷离。在接下来的两个多世纪中，很多杰出的数学家尝试过不同的方法，试图揭开谜团，可是用根式求解一般五次方程的企图都失败了。数学家们开始质疑，五次以上的方程到底有没有根式解？这个问题在两个天才数学家登上历史舞台之后才得到回答。

1826年，24岁的挪威数学家N.H. Abel用反证法证明了一般五次方程是不可能根式求解的。Abel这位伟大的数学天才1802年生于一个贫穷的牧师家庭，他的一生也都与贫穷为伴。21岁时，他发现一般五次方程无法根式求解，但是由于他提出的群论太超前，当时无人问津。Abel自筹经费印刷了他的论文。为了节省成本，他将文章压缩成六页，寄给了德国大数学家 J.C.F. Gauss，却没有得到任何回应。Abel虽然成就极高，但一生都不得志，无法获得教席专心从事研究。1829年，Abel因为过度贫穷染上肺结核离世，那一年他才27岁。Abel去世两天之后，来自柏林大学的聘书却寄到了他的家中。

在Abel之后，人们已经知道五次以上的一般方程不可能用根式求解，但是有很多特殊的方程，譬如x⁵=1，它们是可以根式求解的。到底哪些方程可以根式求解，哪些方程不可能根式求解呢？判定是否可以根式求解的依据又是什么？

回答这些问题的是另一位天才数学家E. Galois。Galois生于1811年，15岁时进入巴黎一所著名的公立中学。他对别的科目都不感兴趣，唯独对数学情有独钟。Galois深入研读了J.-L. Lagrange，J.C.F. Gauss，A.-L. Cauchy和N.H. Abel的著作，并于1829年在他不足18岁时将其研究成果写成了两篇论文呈送到法国科学院。这两篇文章由Cauchy审稿，但却石沉大海，没有下文。1830年，Galois又提交了另一篇精心写成的论文；这一次论文被送到了J. Fourier那里，而之后不久Fourier就去世了，这篇文章也下落不明。1831年，在S.D. Poisson的提议下，Galois又给法国科学院呈送了一篇新写的文章《关于用根式解方程的可解性条件》。可惜的是，该文的审稿人Poisson和S.F. Lacroix尽了最大努力但仍无法理解Galois的证明，于是文章又被退了回来。Galois一生叛逆不羁、曲折坎坷，他两次投考法国综合理工都名落孙山。传说他对考官给的题目毫无兴趣，甚至将擦黑板的抹布扔到了考官的脑袋上。看似合理一些的解释是，Galois在逻辑推理中跳跃太多，使得水平不高的考官跟不上他的思路。Galois曾两次入狱，最后在1832年的一场几近自杀的决斗中不幸身亡，年仅21岁。自知必死的Galois在他决斗前三夜狂笔疾书，将他所有数学成果都记录下来，并在笔记旁多次绝望地写下了潦草的字迹“我没有时间了”。Galois去世之后，他的文章被法国数学家J. Liouville整理修订后发表在《数学杂志》上。至此一元高次方程的根式可解性问题才画上了完美的句号。

Galois和他的手稿

因为他们的理论都引入了“群”这一开创性的概念，Galois和Abel被并称为现代群论的创始人。Galois完整地解决了一元多项式方程的根式求解问题，并由此建立了抽象代数的主要分支Galois理论。Galois理论的主要思想是通过联系域扩张与Galois群，将域的问题转化为群的问题；后者的研究相对容易。Galois基本定理表明，一般或特殊多项式根式可解当且仅当其对应的Galois群是可解的。简单地说，有理数域上的每个方程都有其对应的Galois群，它是方程根的置换群或其子群。因此一个多项式方程是否有根式解的问题就转化为该方程根的置换群或其某个子群是否可解的问题，而置换群及其子群的可解性有比较一般的判定方法。

Galois理论的发现，展示了数学天才强大的创造力和想象力，它是人类数学史上浓墨重彩的一笔。令人惊叹的是，一元五次方程的根式可解性，这样一个看上去如此简单而易于理解的问题，其解答却是如此丰富而深刻，为近代数学的发展树立了永恒的丰碑。

既然高次方程的解不一定能用根式表示，那么如何表示方程的解呢？首先我们可以用数值方法求出方程的近似解。这样的数值方法有牛顿迭代法、连续同伦法等，它们的效率相对较高，但也有各自的弱点。从符号计算的角度来说，如果我们希望精确地表示多项式方程的实根，那么可以使用实根隔离的方法。其思想是求得实数轴上的一系列不相交的有理区间，使得所给多项式的每个实根都包含在某个区间内，而且每个区间恰好包含一个实根。由于区间的长度可以任意缩小，我们可以用这些精确的区间来表示该多项式方程的全部实根。比较经典的实根隔离算法主要基于Sturm定理和Descartes变号法则，后者是已知的最快算法。

一个多元多项式方程总有无穷多个复解，那么如何判断它是否有实解、是否有有理数解呢？这也是很不简单的问题，前者涉及到多元多项式的正定性判定问题，而后者是Diophantine方程解的存在性判定问题。由A. Wiles于1995年证明的Fermat大定理就是断言方程xⁿ+yⁿ=zⁿ在n>2时不存在非零整数解。围绕Fermat大定理，这个曾经困扰了数学家358年的著名猜想，有什么样的故事呢？关于方程求解，还有哪些有趣的问题呢？请读者关注本文的后半部分：方程术（续）。

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（徐娟）

来源：阿狗数学AlgoMath