从一道原创题目及其解法，谈谈数学概念的严肃性

大罕

       公众号【自主招生】第14期，发表了署名文章“用定积分求这个面积杀鸡用修脚刀”。文章给出了一道原创题目及其手写的解答过程，如下：（参见图1）

      此题及其解答，从整个思路和答案看是无误的。但是，题目本身及其解答反映出来的概念上的模糊、治学的不严谨，作为一个公众号拿出来让人家学习这是完全不能接受的。因此有必要写一篇文章，在指出其错误的同时，强调数学概念的严肃性。

     这道题在表述上的错误是：

      ①"已知f(x)=6x²-18x+12,x∈[1,3/2]，f(x)的图像与x轴仅相交于一点(1,0)(如图)，怎么能与x轴围成一个封闭区域从而有其面积？

      ②“已知…, g(x)=(1/6)[9-√(9-6x)],x∈[0,+∞)”，显然g(x)中x的允许值范围是x≤3/2，定义域岂能指定为[0,+∞)？

     ③g(x)的图像与x轴无交点，何以与x轴围成一个封闭区域从而有其面积？

     解答过程也有错误：

     ④y=(1/6)[9-√(9-6x)]与x=-6(y-1)(y-2)是等价的吗？不是，因为两式中的x,y的取值范围不同。具体说，前面式子满足x≥0,y≤3/2，而后面式子满足(-∞,3/2].

     ⑤“f(x)与g(x)表示的是开口相同抛物线”，应为：f(x)与g(x)的图像所在的曲线是开口大小相等的抛物线。因为函数f(x)、g(x)的图像分别是曲线段，所在曲线才是抛物线。抛物线的开口的大小用“相等”来刻画，而不是用“相同”来形容。

     那么，这道题及其解答应该修正为：

     题目：已知(x)=6x²-18x+12,x∈[1,3/2]，g(x)=(1/6)[9-√(9-6x)],x∈[0,3/2]，f(x)与x轴、x=3/2围成的封闭区域的面积为S₁，g(x)与x轴、x=0、x=3/2围成的封闭区域的面积为S₂，求S₁+S₂ .

     解：y=(1/6)[9-√(9-6x)],x∈[0,3/2], y∈[1,3/2]等价于x=-6(y-1)(y-2) ,x∈[0,3/2], y∈[1,3/2]，

     设方程y=6x²-18x+12(x∈[1,3/2], y∈[-3/2,0])对应的曲线段为C₁, x=-6(y-1)(y-2)(x∈[0,3/2], y∈[1,3/2])对应的曲线段为C₂,

     我们注意到C₁、C₂所在的曲线均为开口大小相等的抛物线，前者开口向左，后者开口向上；并且这两条抛物线与x轴、y轴的相对位置是相同的，如图2所示。

     所以，面积为S₁的区域与面积为S₂的区域可以拼接成一个边长为3/2的正方形，

     ∴S₁+S₂=9/4 .

     【评论】原题与解答中所出现的问题是“不严谨”所致吗？是，也不仅是。

      从题目到解答，反映出了作者在这一题的处理上的治学很不严谨，不然就不会漏洞百出，不然就不会把图得马虎了事。

     同时，反映出对数学概念的严肃性重视不够。

     所谓数学概念的严肃性，是指我们在数学活动中要严格遵循数学概念的约定，在课堂上以及公开发表的文字中更不能随意而行。

     函数的三要素，定义域、值域和函数关系，在相关地方应该处处体现；

     函数定义域如果要指定，那么它必须是默认(自然)定义域的子集；

     函数的解析式与曲线的方程是有区别的。同理，函数的图像与方程的曲线是有区别的。

     作为教师，画图是基本功。尤其是徒手画图，更见功力。我们不需要处处用画图工具画图，更多的是信手拈来，画线直直，画圆溜溜。我记得我初中有一位数学老师，一次他顺手在黑板上画了一辆汽车，他讲的什么现在忘记了，画的那车却一直铭记在心。把图画得脏兮兮、丑歪歪，实在不应该。

     顺便指出，治学严谨也表现在文字的表达上。写文章用词要准确，要有逻辑，这是基本要求。例如本公众号的导语说：“无论是数 学奥赛还是自主招生，现在似乎都被笼罩在神秘光环之下，无论是出题，还是解题，都给人很神秘的感觉，所用知识与技巧很多时候都犹如从天而降。事实上，如果揭其本质，理其脉络，一般人通过一番努力之后，还是可以学到手的。”我认为这两段话表达得很不准确，逻辑上也有对不上号的地方。这里恕不详说。

     综上所述，研究一个数学问题，要抓住数学的本质。作为数学教师，除此之外，还要注意数学概念的严肃性，以及“细节”的规范化，诸如表达的严密、逻辑的顺畅、概念的清晰、图形的美观，因为——有时“细节决定成败”。