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聊斋IMO一则(随笔)
大罕
本人对数学竞赛钻研很少,对IMO这样的高水平的数学竞赛更是望而生畏,因此也许没资格说三道四。这一回第58届IMO数学竞赛在巴西举行,中国队荣获第二名。在群友的影响下,把第一题看了看,确实与同大家所说,这题很简单,甚至显得很无聊。本来很简单的事情但是要在数学上说出个子丑寅卯来,还真不容易。说它不容易,其实就是绕着圈子说一个简单的事实。
题目:对每个整数a0>1,定义数列a0,a1,a2…如下:对于任意的n≥0,若√(an)是一个整数,则an+1 =√(an);若其它情况,则an+1=an+3,试求满足下述条件的所有a0:存在一个数A,使得对无穷多个n,有an=A.
此题的意思是:
一个递推数列,首项是大于1的整数,递推规则是:若此数开平方开得尽,则后一项就是算术平方根;若此数开不尽,则后一项是前一项加3. 请你求出数列的首项,使得总存在一个实数在这个数列里无穷多次出现.
如果观察能力强,那么我们很快就注意到加3这个条件上面.设 a0=3, 则a1=6, a2=9, a3=3, a4=6, a5=9, …,说明3满足。
慢,3的倍数比如6,行不行?a0=6, 则a1=9, a2=3, a3=6, a4=9, a5=3, …,也可以。大胆猜测a0是3的倍数. 这题基本上就出来了.
剩下的工作就是表达“为什么不是3的倍数就不行”. 我看有的解答,讨论得云里雾里、歪七扭八、高深无比,不亦乐乎,难道这就是数学吗?
是的,这也是数学。记得我在大学时,有一位当年还是讲师的周显老师讲:“有时,表达也是数学”。如今看来这句话当然是对的,但不是数学的全部,更不是数学的华彩乐章。
2017-7-22
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