评析2017上海高考数学第15题

大罕

  【题目】已知数列xn=an^2+bn+c，n∈N*，使得第100+k项，第200+k项，第300+k项(k为正整数)成等差数列的必要条件是(   ).        

   A a≥0    B b≤0    Cc=0   D a-2b+c=0

  【解法一】必要性。令k=1,依题意有

2x201-(x101+x301)＝0，∴2(201^2·a +201b+c)-[(101^2·a+101b+c)+(301^2·a +301b+c)] =0,

即a (2·201^2- 101^2-301^2)=0 ，∴a=0, 而a>0时不能导出2x101-(x1+x201)＝0，

∴a≥0是必要（不充分）条件。

 【解法二】若x100+k, x200+k, x300+k成等差数列，且这三项“距离相等”，所以数列{xn}必为等差数列，现已知等差数列的通项公式是关于n的一次函数，故通项公式xn=an^2+bn+c中必有a＝0。因此a＝0是第(100+k)项，第(200+k)项，第(300+k)成等差数列的必要条件。

  【评析】这道题是一道有意思的题目，捷径与陷阱共存。具体来说是：

  由第100+k项，第200+k项，第300+k项成等差数列且xn的通项公式，我们可以推出a=0，而选择支BCD与a无关，应排除，故本题选A。这是捷径。

  得到a=0后，发现a=0是a≥0 的一部分。怎么认识这一现象？这是陷阱。其实，a=0是充要条件，而a≥0 是必要（不充分）条件，正是本题的正确答案。

  “等差数列中距离相等的项也成等差数列”这条性质学生应该知道。但是它的逆命题为真吗？即若数列中的距离相等的三项成等差数列，则此数列也为等差数列，这一命题为真吗？其实是可以证实的。但在这里，在高考考场上，面对一道选择题，我们不妨大胆认为其为真，采用了解法二。这是机智的表现。

                 2017-6-22